Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Bepaal het argument θ van z = −7 − j8 in graden, als hoofdwaarde tussen −180° en 180°.

z = −7 − j8

θ = °

2.Complexe getallenMoeilijk

Bepaal het imaginaire deel van (−3 + j3)⁵.

z = −3 + j3n = 5

Im(z⁵) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 50 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 20 mH

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 10 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning V_L over de spoel.

V = 10 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 0,1 µF

V_L = V

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 8 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,9 uit een voeding van 240 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.

P = 8 kWpf = 0,9V = 240 V

Q = kvar

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een bron van 24 V (rms), 60 Hz heeft een inwendige impedantie Z_s = 5 + j10 Ω. De belastingsimpedantie Z_L kan vrij worden gekozen. Vind het maximale werkelijk vermogen P_max dat aan de belasting kan worden geleverd.

V_s = 24 V (rms)f = 60 HzZ_s = 5 + j10 Ω

P_max = W

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 5 Ω, L = 22 µH en C = 47 nF. Bepaal zijn kwaliteitsfactor Q.

R = 5 ΩL = 22 µHC = 47 nF

Q =

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

De halfvermogensfrequenties van een resonantiekromme zijn 900 kHz en 2,25 MHz. Bepaal de resonantiefrequentie als hun meetkundig gemiddelde, en daarna de kwaliteitsfactor Q.

f₁ = 900 kHzf₂ = 2,25 MHz

Q =

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 15 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 90% en de arbeidsfactor 0,85 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 690 V. Vind de lijnstroom I_L.

P_out = 15 kWη = 90%cos φ = 0,85V_L = 690 V

I_L = A

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 150 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 480 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 5 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat v_C 7,8 V bereikt? Vind t.

V_s = 12 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 18 VI_s = 0,5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 Ω

I_N = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Het getoonde RC-hoogdoorlaatfilter heeft R = 10 kΩ, C = 2,2 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 72 kHz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van v_out ten opzichte van v_in, in graden.

R = 10 kΩC = 2,2 nFf = 72 kHz

φ = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 310/(s(s + 3)(s + 10)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.

L(s) = 310/(s(s + 3)(s + 10))

GM = dB

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: θ = −131,2 °

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Kwadrant

a = −7, b = −8 → III

Referentiehoek

α = atan(8/7) = 48,81°

Argument

θ = −(180° − α) = −131,2°

Antwoord

θ = −131,2°

In poolvorm is z = 10,63∠−131,2°.

2.Complexe getallen

Antwoord: Im(z⁵) = −972

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Machten stap voor stap

z² = (−3 + j3)(−3 + j3) = −j18

z³ = (−j18)(−3 + j3) = 54 + j54

z⁴ = (54 + j54)(−3 + j3) = −324

z⁵ = (−324)(−3 + j3) = 972 − j972

Controleer met De Moivre

z = 4,243∠135° → z⁵ = 1375∠−45°

Im(z⁵) = −972

Antwoord

Im(z⁵) = −972

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 67,27 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_L = ωL = 2π·50·0,02 = 6,283 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 50/15 = 3,333 A

I_X = V/X_L = 50/6,283 = 7,958 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(3,333² + 7,958²) = 8,628 A

Fasehoek

De spoelstroom ijlt na op V, dus de totale stroom ijlt na en de hoek is positief.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(7,958/3,333) = 67,27°

Antwoord

φ = 67,27°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_L = 500 V

Resonantie

Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,1·10⁻⁶) = 10000 rad/s

I = V/R = 10/20 = 0,5 A

Spanning over de spoel

X_L = ω₀L = 10000·0,1 = 1000 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·1000 = 500 V

Antwoord

V_L = 500 V

Dit is Q = 50 keer de voedingsspanning.

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: Q = 3,875 kvar

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Hoek

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

Blindvermogen

Q = P·tan φ = 8·0,4843 = 3,875 kvar

Antwoord

Q = 3,875 kvar

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: P_max = 28,8 W

Complex geconjugeerde aanpassing

De reactantie van de belasting heft die van de bron op, en de belastingsweerstand is gelijk aan de bronweerstand.

Z_L = Z_s* = 5 − j10 Ω

Maximaal vermogen

I = V_s/(2R_s) = 24/10 = 2,4 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 24²/(4·5) = 28,8 W

Antwoord

P_max = 28,8 W

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: Q = 4,327

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Karakteristieke impedantie

√(L/C) = √(2,2 × 10⁻⁵/4,7 × 10⁻⁸) = 21,64 Ω

Kwaliteitsfactor

Q = 21,64/5 = 4,327

Antwoord

Q = 4,327

De resonantiefrequentie is 156,5 kHz, dus BW = f₀/Q = 36,17 kHz.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: Q = 1,054

Resonantiefrequentie

f₀ = √(900000·2,25 × 10⁶) = 1,423 × 10⁶ Hz

Bandbreedte

BW = 2,25 × 10⁶ − 900000 = 1,35 × 10⁶ Hz

Kwaliteitsfactor

Q = 1,423 × 10⁶/1,35 × 10⁶ = 1,054

Antwoord

Q = 1,054

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: I_L = 16,41 A

Opgenomen elektrisch vermogen

P_in = P_out/η = 15/0,9 = 16,67 kW

Lijnstroom

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 16667/(√3·690·0,85) = 16,41 A

Antwoord

I_L = 16,41 A

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 152,9 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,8) = 150·0,75 = 112,5 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,9) = 150·0,4843 = 72,65 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 39,85 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13284/(377·480²) = 152,9 µF

Antwoord

C_ph = 152,9 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,08148 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0,12 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,12·(1 − e^−5/4,4) = 0,08148 A

Antwoord

i = 0,08148 A

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 76,42 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 12 + (5 − 12)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

7,8 = 12 + (−7)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7,8 − 12)/(5 − 12) = 0,6

t = τ·ln((5 − 12)/(7,8 − 12)) = 149,6·ln(1,667) = 76,42 ms

Antwoord

t = 76,42 ms

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,1389 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 12 = 14,4 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·3/(12+3) = 2 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 2/14,4 = 0,1389 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,6915 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 4·2/(4+2) = 1,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,333 + 30 = 31,33 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 0,5·1,333 = 6,667 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6,667 + 0,5·30 = 21,67 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 21,67/31,33 = 0,6915 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: φ = 5,738 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Kantelfrequentie

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·2,2 × 10⁻⁹) = 45455 rad/s

f_c = 7234 Hz → f/f_c = 72000/7234 = 9,953

Fase

φ = 90° − atan(9,953) = 5,738°

Antwoord

φ = 5,738°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: GM = 1,994 dB

Faseomslag

(ω/3)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·10) = 5,477 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 100)) = K/(3·10·(3 + 10)) = K/390

Versterkingsmarge

GM = 20·log₁₀(390/310) = 1,994 dB

Antwoord

GM = 1,994 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Kwadrant

Referentiehoek

Argument

Antwoord

Machten stap voor stap

Controleer met De Moivre

Antwoord

Reactantie

Takstromen

Totale stroom

Fasehoek

Antwoord

Resonantie

Spanning over de spoel

Antwoord

Hoek

Blindvermogen

Antwoord

Complex geconjugeerde aanpassing

Maximaal vermogen

Antwoord

Karakteristieke impedantie

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Resonantiefrequentie

Bandbreedte

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Opgenomen elektrisch vermogen

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Stroom op het gegeven tijdstip

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Los op naar de tijd

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Kantelfrequentie

Fase

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Versterkingsmarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning