Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Bepaal het argument θ van z = −6 + j3 in graden, als hoofdwaarde tussen −180° en 180°.

z = −6 + j3

θ = °

2.Complexe getallenMoeilijk

Eén wortel van z³ + 5z² + 4z − 10 = 0 is z₁ = −3 + j. De coëfficiënten zijn reëel. Bepaal de reële wortel r.

z₁ = −3 + j

r =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een condensator zijn parallel aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 100 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩC = 22 µF

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 10 V (rms), 200 Hz. Vind de effectieve spanning V_C over de condensator.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 47 µF

V_C = V

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een inductieve belasting neemt 7 A en 504 W op uit een eenfasige voeding van 120 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind X.

V = 120 VI = 7 AP = 504 W

X = Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 3 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 240 V, 50 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 33 µF aangesloten. Vind de nieuwe arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.

P = 3 kWpf₁ = 0,65V = 240 Vf = 50 HzC = 33 µF

cos φ =

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

In een ideale LC-schakeling met L = 2,2 mH en C = 22 nF is de condensator op t = 0 volledig opgeladen. Hoe lang duurt het tot alle energie in de spoel zit? Geef t in µs.

L = 2,2 mHC = 22 nF

t = µs

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een serieresonantiekring gebruikt een spoel van 47 mH. Welke totale serieweerstand R geeft een bandbreedte van 2 kHz?

L = 47 mHBW = 2 kHz

R = Ω

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 15 + j20 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 400 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 400 VZ = 15 + j20 Ω per fase

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 300 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 690 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen Q_C dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.

P = 300 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning v_L over de spoel op t = 5 ms.

V_s = 5 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Een timer begint op t = 0 een ongeladen condensator via een weerstand op te laden uit een voeding van 12 V. Hij moet schakelen als de condensatorspanning 6 V bereikt, precies 50 ms na de start. Vind met R = 22 kΩ de benodigde capaciteit C.

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 50 msR = 22 kΩ

C = µF

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Een belasting R_L = 20 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Thévenin-spanning V_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 10 VI_s = 0,5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Bepaal de fase ∠G(jω) van G(s) = 19(s + 15)/(s(s + 5)) bij ω = 10 rad/s, in graden.

G(s) = 19(s + 15)/(s(s + 5))ω = 10 rad/s

∠G(jω) = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 62/(s(s + 1)(s + 10)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.

L(s) = 62/(s(s + 1)(s + 10))

GM = dB

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: θ = 153,4 °

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Kwadrant

a = −6, b = 3 → II

Referentiehoek

α = atan(3/6) = 26,57°

Argument

θ = 180° − α = 153,4°

Antwoord

θ = 153,4°

In poolvorm is z = 6,708∠153,4°.

2.Complexe getallen

Antwoord: r = 1

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Geconjugeerd paar

z₂ = −3 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 1²) = z² + 6z + 10

Splits de kwadratische factor af

z³ + 5z² + 4z − 10 = (z² + 6z + 10)(z − 1)

Reële wortel

r = 1

Antwoord

r = 1

Controleer met de som van de wortels: z₁ + z₂ + r = −6 + 1 = −5 = −(5).

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −28,94 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 24/40 = 0,6 A

I_X = V/X_C = 24/72,34 = 0,3318 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,6² + 0,3318²) = 0,6856 A

Fasehoek

De condensatorstroom ijlt voor op V, dus de totale stroom ijlt voor en de hoek is negatief.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,3318/0,6) = −28,94°

Antwoord

φ = −28,94°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_C = 0,9831 V

Reactanties

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (171,6)²) = 172,2 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 10/172,2 = 0,05807 A

Spanning over de condensator

V_C = I·X_C = 0,05807·16,93 = 0,9831 V

Antwoord

V_C = 0,9831 V

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: X = 13,71 Ω

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Weerstand uit het werkelijk vermogen

R = P/I² = 504/7² = 10,29 Ω

Reactantie uit de impedantie

|Z| = V/I = 120/7 = 17,14 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(17,14² − 10,29²) = 13,71 Ω

Antwoord

X = 13,71 Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: cos φ = 0,7178

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = 3·tan(arccos 0,65) = 3,507 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·33·10⁻⁶ = 597,2 var = 0,5972 kvar

Q₂ = 3,507 − 0,5972 = 2,91 kvar

Nieuw schijnbaar vermogen

S₂ = √(3² + 2,91²) = 4,18 kVA

Nieuwe arbeidsfactor

cos φ = P/S₂ = 3/4,18 = 0,7178

Antwoord

cos φ = 0,7178

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: t = 10,93 µs

LC-resonantie: een opgeladen condensator die op een spoel is aangesloten drijft een stroom die hem de andere kant op oplaadt: de energie pendelt tussen het elektrische veld van C (½Cv²) en het magnetische veld van L (½Li²) met de eigenfrequentie f₀ = 1/(2π√(LC)). Zonder weerstand blijft de totale energie ½CV₀² constant, dus de piekstroom is I_max = V₀√(C/L). Eén periode is T = 1/f₀; de energie gaat in een kwart ervan van C naar L.

Trillingstijd

T = 2π√(0,0022·2,2 × 10⁻⁸) = 43,71 µs

Kwart periode

t = T/4 = 10,93 µs

Antwoord

t = 10,93 µs

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: R = 590,6 Ω

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Seriebandbreedte

BW = R/(2πL)

Weerstand

R = 2π·0,047·2000 = 590,6 Ω

Antwoord

R = 590,6 Ω

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 3,84 kW

Fasespanning

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Fasestroom

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 230,9/25 = 9,238 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,238²·15 = 3,84 kW

Antwoord

P = 3,84 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: Q_C = 207,5 kvar

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,7) = 300·1,02 = 306,1 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,95) = 300·0,3287 = 98,61 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 207,5 kvar

Antwoord

Q_C = 207,5 kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_L = 0,9602 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

i(∞) = V_s/R = 5/33 = 0,1515 A

Spoelspanning

Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−5/3,03 = 0,9602 V

Antwoord

v_L = 0,9602 V

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: C = 3,279 µF

Benodigde tijdconstante

6 = 12·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 6))

τ = 50/0,6931 = 72,13 ms

Capaciteit

kΩ maal µF geeft milliseconden.

C = τ/R = 72,13/22 = 3,279 µF

Antwoord

C = 3,279 µF

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 0,07538 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4,615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,615 + 6 = 10,62 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·6/(20+6) = 2,308 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 2,308/(10,62 + 20) = 0,07538 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: V_th = 21,43 V

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 12·30/(12+30) = 8,571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,571 + 20 = 28,57 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,143 + 0,5·8,571 = 11,43 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 11,43 + 0,5·20 = 21,43 V

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ∠G(jω) = −119,7 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Tel de hoeken op

∠G = atan(10/15) − 90° − atan(10/5) = 33,69° − 90° − 63,43°

Resultaat

∠G(j10) = −119,7°

Antwoord

∠G(jω) = −119,7°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: GM = 4,98 dB

Faseomslag

(ω/1)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·10) = 3,162 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 100)) = K/(1·10·(1 + 10)) = K/110

Versterkingsmarge

GM = 20·log₁₀(110/62) = 4,98 dB

Antwoord

GM = 4,98 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Kwadrant

Referentiehoek

Argument

Antwoord

Geconjugeerd paar

Splits de kwadratische factor af

Reële wortel

Antwoord

Reactantie

Takstromen

Totale stroom

Fasehoek

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Stroom

Spanning over de condensator

Antwoord

Weerstand uit het werkelijk vermogen

Reactantie uit de impedantie

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Nieuw schijnbaar vermogen

Nieuwe arbeidsfactor

Antwoord

Trillingstijd

Kwart periode

Antwoord

Seriebandbreedte

Weerstand

Antwoord

Fasespanning

Fasestroom

Totaal werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Spoelspanning

Antwoord

Benodigde tijdconstante

Capaciteit

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Tel de hoeken op

Resultaat

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Versterkingsmarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning