Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Wisselstroomimpedantie en fasoren
Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z
Methode
Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Eigenfrequentie
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energie
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom
Imax = V0√(C/L)
Kwaliteitsfactor
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Halfvermogensfrequenties
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude
e−Rt/(2L)
Methode
Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
RC- en RL-schakelverschijnselen
Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ
Methode
Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin en Norton
Thévenin-spanning
Vth = Vopen circuit
Thévenin-weerstand
Rth: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom
IN = Vth/Rth
Belastingsstroom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale vermogensoverdracht
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is Vth.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is Rth.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: Vth in serie met Rth.
Reken voor het Norton-equivalent om: IN = Vth/Rth, met RN = Rth parallel.
2Oefenopgaven
1.Complexe getallenGemiddeld
Bepaal het argument θ van z = −7 + j3 in graden, als hoofdwaarde tussen −180° en 180°.
z = −7 + j3
θ = °
2.Complexe getallenMoeilijk
De vergelijking z² − 6z + 15,25 = 0 heeft twee complexe wortels. Bepaal hun modulus |z|.
p = −6q = 15,25
|z| =
3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 12 V (rms), 60 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).
V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF
φ = °
4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 60 Hz. Vind de effectieve spanning VC over de condensator.
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 10 µF
VC = V
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een belasting met impedantie Z = 5 + j12 Ω is aangesloten op een eenfasige voeding van 120 V (rms). Vind het werkelijk vermogen P dat ze opneemt.
V = 120 VZ = 5 + j12 Ω
P = W
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 50 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een voeding van 230 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,9. Vind het blindvermogen QC dat de condensator moet leveren.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld
Een parallel-RLC-schakeling heeft R = 2,2 kΩ, L = 2,2 mH en C = 1 µF. Bepaal zijn kwaliteitsfactor Q.
R = 2,2 kΩL = 2,2 mHC = 1 µF
Q =
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk
Een parallelle kring bestaat uit een condensator van 22 nF en een spoel van 47 µH met een wikkelweerstand van 1 Ω. Bij resonantie gedraagt hij zich als een weerstand, zijn dynamische weerstand RD = L/(C·r). Bepaal RD in kΩ.
L = 47 µHC = 22 nFr = 1 Ω
RD = kΩ
9.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 4 + j3 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 208 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 208 VZ = 4 + j3 Ω per fase
P = kW
10.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een net van 400 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
P = 200 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning vL over de spoel op t = 1 ms.
Vs = 6 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de condensatorspanning vC op t = 400 ms.
Vs = 9 VR1 = 6,8 kΩR2 = 10 kΩC = 47 µFt = 400 ms
vC = V
13.Thévenin en NortonGemiddeld
Een belasting RL = 5 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom IL.
V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩRL = 5 Ω
IL = A
14.Thévenin en NortonMoeilijk
Vind de Thévenin-spanning Vth gezien vanaf de klemmen a–b.
V1 = 6 VIs = 6 AR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
15.Bodediagrammen en margesGemiddeld
Bepaal de fase ∠G(jω) van G(s) = 6(s + 19)/(s(s + 7)) bij ω = 5 rad/s, in graden.
G(s) = 6(s + 19)/(s(s + 7))ω = 5 rad/s
∠G(jω) = °
16.Bodediagrammen en margesMoeilijk
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = K/(s(s + 4)(s + 6)). Bepaal de versterking K die een versterkingsmarge van 15 dB geeft.
L(s) = K/(s(s + 4)(s + 6))GM = 15 dB
K =
3Oplossingen
1.Complexe getallen
Antwoord: θ = 156,8 °
Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.
Kwadrant
a = −7, b = 3 → II
Referentiehoek
α = atan(3/7) = 23,2°
Argument
θ = 180° − α = 156,8°
Antwoord
θ = 156,8°
In poolvorm is z = 7,616∠156,8°.
2.Complexe getallen
Antwoord: |z| = 3,905
De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.
Discriminant
p² − 4q = 36 − 61 = −25 < 0
Abc-formule
z = (6 ± j√25)/2 = 3 + j2,5, 3 − j2,5
Antwoord
|z| = √(3² + 2,5²) = √15,25 = 3,905
Antwoord
|z| = 3,905
3.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: φ = 31,42 °
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactanties
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω
Impedantie
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactanties
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω
Impedantie
In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(XL − XC).
Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.
I = V/|Z| = 100/262,5 = 0,3809 A
Spanning over de condensator
VC = I·XC = 0,3809·265,3 = 101 V
Antwoord
VC = 101 V
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: P = 426 W
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Stroom
|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 120/13 = 9,231 A
Werkelijk vermogen
P = I²·R = 9,231²·5 = 426 W
Antwoord
P = 426 W
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: QC = 19,88 kvar
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(41,41°) = 44,1 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(25,84°) = 24,22 kvar
QC = Q1 − Q2 = 19,88 kvar
Antwoord
QC = 19,88 kvar
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: Q = 46,9
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Resonantiefrequentie
ω₀ = 1/√(LC) = 21320 rad/s
Kwaliteitsfactor
Q = R/(ω₀L) = 2200/(21320·0,0022) = 46,9
Antwoord
Q = 46,9
De bandbreedte is 1/(2πRC) = 72,34 Hz.
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: RD = 2,136 kΩ
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = 208/√3 = 120,1 V
Fasestroom
|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω
Iph = 120,1/5 = 24,02 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·24,02²·4 = 6,922 kW
Antwoord
P = 6,922 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,8, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
10.Draaistroomvermogen
Antwoord: QC = 91,18 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,75) = 200·0,8819 = 176,4 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 91,18 kvar
Antwoord
QC = 91,18 kvar
11.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: vL = 2,207 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Tijdconstante en eindstroom
Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.
τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 6/10 = 0,6 A
Spoelspanning
Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/1 = 2,207 V
Antwoord
vL = 2,207 V
12.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: vC = 2,287 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Beginspanning van de condensator
In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.
vC(0) = 9·10/(6,8 + 10) = 5,357 V
Tijdconstante nadat de schakelaar opent
τ = R2·C = 10·47 = 470 ms
Ontlading
vC(t) = 5,357·e−400/470 = 2,287 V
Antwoord
vC = 2,287 V
13.Thévenin en Norton
Antwoord: IL = 0,3125 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 8·5/(8+5) = 3,077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,077 + 3 = 6,077 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·5/(8+5) = 3,462 V
Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent
De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.
IL = Vth/(Rth + RL) = 3,462/(6,077 + 5) = 0,3125 A
14.Thévenin en Norton
Antwoord: Vth = 65,25 V
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 3 = 10,5 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,25 + 6·7,5 = 47,25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 47,25 + 6·3 = 65,25 V
15.Bodediagrammen en marges
Antwoord: ∠G(jω) = −110,8 °
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.