Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Gegeven z₁ = 5∠125° en z₂ = 2∠20°, bepaal het argument θ van w = z₁/z₂ in graden, tussen −180° en 180°.

z₁ = 5∠125°z₂ = 2∠20°

θ = °

2.Complexe getallenMoeilijk

Eén wortel van z³ + z² − 15z + 25 = 0 is z₁ = 2 + j. De coëfficiënten zijn reëel. Bepaal de reële wortel r.

z₁ = 2 + j

r =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 100 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 1000 Hz. Vind de resonantiefrequentie f₀ van de schakeling.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 10 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,85 uit een voeding van 400 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.

P = 10 kWpf = 0,85V = 400 V

Q = kvar

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 30 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een voeding van 230 V, 60 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 470 µF aangesloten. Vind de nieuwe lijnstroom I.

P = 30 kWpf₁ = 0,75V = 230 Vf = 60 HzC = 470 µF

I = A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling resoneert bij 2 kHz met Q = 2. Bepaal de onderste halfvermogensfrequentie f₁ exact, in kHz.

f₀ = 2 kHzQ = 2

f₁ = kHz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een parallelle kring bestaat uit een condensator van 22 nF en een spoel van 10 mH met een wikkelweerstand van 20 Ω. Bij resonantie gedraagt hij zich als een weerstand, zijn dynamische weerstand R_D = L/(C·r). Bepaal R_D in kΩ.

L = 10 mHC = 22 nFr = 20 Ω

R_D = kΩ

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 150 A op uit een net met een lijnspanning van 690 V. De arbeidsfactor is 0,8 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 690 VI_L = 150 Acos φ = 0,8

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 300 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 415 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen Q_C dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.

P = 300 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Hoe lang na het sluiten van de schakelaar bereikt de stroom 50% van zijn eindwaarde? Vind t.

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 100 mH

t = ms

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 20 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat v_C 13 V bereikt? Vind t.

V_s = 10 VR = 3,3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Een belasting R_L = 12 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

In het getoonde serie-RLC-banddoorlaatfilter staat de uitgang over R = 10 Ω, met L = 50 mH en C = 10 µF. Bepaal de kwaliteitsfactor Q.

R = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Q =

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 40/(s(s + 1)(s + 7)). Bepaal de faseomslagfrequentie ω₁₈₀, waar ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 40/(s(s + 1)(s + 7))

ω₁₈₀ = rad/s

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: θ = 105 °

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Modulus en argument van w

|w| = 5 / 2 = 2,5

θ = 125° − 20° = 105°

Argument

θ = 105°

Antwoord

θ = 105°

2.Complexe getallen

Antwoord: r = −5

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Geconjugeerd paar

z₂ = 2 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 1²) = z² − 4z + 5

Splits de kwadratische factor af

z³ + z² − 15z + 25 = (z² − 4z + 5)(z + 5)

Reële wortel

r = −5

Antwoord

r = −5

Controleer met de som van de wortels: z₁ + z₂ + r = 4 + (−5) = −1 = −(1).

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 10,64 Ω

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_L = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 50/20 = 2,5 A

I_X = V/X_L = 50/12,57 = 3,979 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,5² + 3,979²) = 4,699 A

Impedantie

|Z| = V/I = 50/4,699 = 10,64 Ω

Antwoord

|Z| = 10,64 Ω

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: f₀ = 758,7 Hz

Resonantie

Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC). De voedingsfrequentie doet er niet toe.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·2,2·10⁻⁶)) = 758,7 Hz

Antwoord

f₀ = 758,7 Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: Q = 6,197 kvar

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Hoek

φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197

Blindvermogen

Q = P·tan φ = 10·0,6197 = 6,197 kvar

Antwoord

Q = 6,197 kvar

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 150,1 A

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = 30·tan(arccos 0,75) = 26,46 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·470·10⁻⁶ = 9373 var = 9,373 kvar

Q₂ = 26,46 − 9,373 = 17,08 kvar

Nieuw schijnbaar vermogen

S₂ = √(30² + 17,08²) = 34,52 kVA

Nieuwe lijnstroom

I = S₂/V = 34524/230 = 150,1 A

Antwoord

I = 150,1 A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: f₁ = 1,562 kHz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Wortelterm

√(1 + 1/(4·2²)) = 1,031

Onderste halfvermogensfrequentie

f₁ = 2000·(1,031 − 0,25) = 1562 Hz = 1,562 kHz

Antwoord

f₁ = 1,562 kHz

De bovenste is f₂ = 2,562 kHz; controle: f₂ − f₁ = 1 kHz = f₀/Q.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: R_D = 22,73 kΩ

Dynamische weerstand

R_D = 0,01/(2,2 × 10⁻⁸·20) = 22727 Ω = 22,73 kΩ

Controle met Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 33,71, Q²·r = 22727 Ω

Antwoord

R_D = 22,73 kΩ

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 143,4 kW

Schijnbaar vermogen

S = √3·V_L·I_L = √3·690·150 = 179,3 kVA

Werkelijk vermogen

P = S·cos φ = 179,3·0,8 = 143,4 kW

Antwoord

P = 143,4 kW

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: Q_C = 164,1 kvar

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,8) = 300·0,75 = 225 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,98) = 300·0,2031 = 60,92 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 164,1 kvar

Antwoord

Q_C = 164,1 kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 3,151 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1,091 A

Los op naar de tijd

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −4,545·ln(0,5) = 3,151 ms

Antwoord

t = 3,151 ms

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 131,1 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms

v_C(t) = 10 + (20 − 10)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

13 = 10 + (10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (13 − 10)/(20 − 10) = 0,3

t = τ·ln((20 − 10)/(13 − 10)) = 108,9·ln(3,333) = 131,1 ms

Antwoord

t = 131,1 ms

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 0,3169 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 2 = 5,75 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·10/(6+10) = 5,625 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5,625/(5,75 + 12) = 0,3169 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 1,158 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·5/(15+5) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 20 = 23,75 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,75 + 1·3,75 = 7,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 7,5 + 1·20 = 27,5 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 27,5/23,75 = 1,158 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: Q = 7,071

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Resonantiefrequentie

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·1 × 10⁻⁵) = 1414 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 225,1 Hz

Kwaliteitsfactor

BW = R/L = 10/0,05 = 200 rad/s = 31,83 Hz

Q = ω₀/BW = 1414/200 = 7,071

Antwoord

Q = 7,071

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ω₁₈₀ = 2,646 rad/s

Faseomslag

(ω/1)·(ω/7) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·7) = 2,646 rad/s

Antwoord

ω₁₈₀ = 2,646 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Modulus en argument van w

Argument

Antwoord

Geconjugeerd paar

Splits de kwadratische factor af

Reële wortel

Antwoord

Reactantie

Takstromen

Totale stroom

Impedantie

Antwoord

Resonantie

Antwoord

Hoek

Blindvermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Nieuw schijnbaar vermogen

Nieuwe lijnstroom

Antwoord

Wortelterm

Onderste halfvermogensfrequentie

Antwoord

Dynamische weerstand

Controle met Q

Antwoord

Schijnbaar vermogen

Werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Los op naar de tijd

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Los op naar de tijd

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Resonantiefrequentie

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Faseomslag

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning