Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een annuïteit betaalt 12 jaar lang aan het eind van elk jaar €2 000. De rente is 10 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €2 000i = 10%n = 12
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €200 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 16? Bereken de restschuld B.
P = €200 0002,4% / 12N = 360k = 192
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €10 000, €10 000, €9 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 000, €15 500, €16 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 15 500CF3 = 16 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 6% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 6%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 3%n = 4YTM = 3,5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €27,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,6, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 0,6rf = 1,5%rm = 7%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een bedrijf verkoopt 2 500 stuks voor €22 per stuk. De variabele kosten zijn €18 per stuk en de vaste kosten €8 000. Bereken de operationele hefboom DOL bij dit verkoopniveau.
Q = 2 500p = €22v = €18F = €8 000
DOL =
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt twee producten. Product A wordt verkocht voor €9 met variabele kosten van €5; product B voor €35 met variabele kosten van €15. Ze worden verkocht in een vaste verhouding van 4 stuks A op elke 1 B. De vaste kosten zijn €7 200 per maand. Bereken het totale aantal stuks Q (A en B samen) dat nodig is om quitte te spelen.
pA = €9, vA = €5pB = €35, vB = €15A : B = 4 : 1F = €7 200
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 13627 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3186)/0,1 = 6,814
Contante waarde
PV = 2 000·6,814 = €13 627,38
Antwoord
PV = €13 627,38
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 111187 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,002, N = 360
A = 200 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−360) = €779,88
Contante waarde van de resterende betalingen
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 192 = 168
B = 779,9·(1 − (1 + 0,002)−168)/0,002 = €111 186,73
Antwoord
B = €111 186,73
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −5459 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 10 000/1,09 = 9 174,31
CF2/(1 + 0,09)2 = 10 000/1,188 = 8 416,80
CF3/(1 + 0,09)3 = 9 000/1,295 = 6 949,65
Optellen
NPV = €−5 459,24
Antwoord
NPV = €−5 459,24
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 36,69 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(35%) = 581,47
NPV(40%) = −1 078,72
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, i = 0,03, N = 6
Contante waarde van de coupons
€20,00·(1 − 0,8375)/0,03 = €108,34
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8375 = €837,48
Koers
P = €945,83
Antwoord
P = €945,83
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 3,827 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 30/1,035 = 28,99, t·PV = 28,99
t = 2: 30/1,071 = 28,01, t·PV = 56,01
t = 3: 30/1,109 = 27,06, t·PV = 81,17
t = 4: 1030/1,148 = 897,59, t·PV = 3 590,34
Duration
P = 981,63
D = 3 756,51/981,63 = 3,827
Antwoord
D = 3,827 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,46 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·14% + 0,2308·4%·(1 − 0,25) = 11,46%
Antwoord
WACC = 11,46%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 4,625 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.
Totale dekkingsbijdrage
CM = 2 500·(22 − 18) = €10 000
Bedrijfsresultaat
Π = 10 000 − 8 000 = €2 000
DOL
DOL = 10 000/2 000 = 5
Antwoord
DOL = 5
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 1000 stuks
Break-even met een verkoopmix: als producten in een vaste verhouding worden verkocht, gebruik je de gewogen gemiddelde dekkingsbijdrage: weeg de p − v van elk product naar zijn aandeel in het aantal stuks. Break-evenaantal = F/(gewogen dekkingsbijdrage), daarna weer verdeeld volgens de mixverhouding.