Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €3 000 tegen een nominale rente van 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 8 jaar.
PV = €3 0004,8% / 4n = 8
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 12 jaar lang aan het begin van elk jaar €6 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 5 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 12 op de rekening? Bereken FV.
A = €6 000i = 5%n = 12
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €20 000, gaat 6 jaar mee en kost €5 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €20 000M = €5 000n = 6r = 5%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost vandaag €200 000. De kasstroom is €25 500 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 7. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €200 000CF1 = €25 500g = 4%n = 7r = 10%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3,5% naar 5,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 6%n = 5y1 = 3,5%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 070. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 8% (2×)n = 4P = €1 070
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,2 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 25,8%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Een bedrijf verkoopt 6 250 stuks voor €40 per stuk. De variabele kosten zijn €20 per stuk en de vaste kosten €100 000. Bereken de operationele hefboom DOL bij dit verkoopniveau.
Q = 6 250p = €40v = €20F = €100 000
DOL =
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt twee producten. Product A wordt verkocht voor €15 met variabele kosten van €12; product B voor €20 met variabele kosten van €10. Ze worden verkocht in een vaste verhouding van 3 stuks A op elke 2 B. De vaste kosten zijn €5 800 per maand. Bereken het totale aantal stuks Q (A en B samen) dat nodig is om quitte te spelen.
pA = €15, vA = €12pB = €20, vB = €10A : B = 3 : 2F = €5 800
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 4394 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,05)12 − 1)/0,05 = 15,92
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 6 000·15,92·1,05 = €100 277,90
Antwoord
FV = €100 277,90
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 8940 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,05−6)/0,05 = 5,076
Aanschafprijs omgerekend per jaar
20 000/5,076 = 3 940,35
EAC
EAC = 3 940,35 + 5 000 = €8 940,35
Antwoord
EAC = €8 940,35
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −61994 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −91,52 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, N = 8
Los numeriek op
i = 3,003% per halfjaar
YTM
YTM = 2·3,003% = 6,005%
Antwoord
YTM = 6,005%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,16 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·14% + 0,375·5%·(1 − 0,25) = 10,16%
Antwoord
WACC = 10,16%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11,52 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,2/(1 + 0,742·0,4) = 0,9254
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,9254·(1 + 0,742·0,6) = 1,337
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 1,337·6% = 11,52%
Antwoord
re = 11,52%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: DOL = 5
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.
Totale dekkingsbijdrage
CM = 6 250·(40 − 20) = €125 000
Bedrijfsresultaat
Π = 125 000 − 100 000 = €25 000
DOL
DOL = 125 000/25 000 = 5
Antwoord
DOL = 5
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 1000 stuks
Break-even met een verkoopmix: als producten in een vaste verhouding worden verkocht, gebruik je de gewogen gemiddelde dekkingsbijdrage: weeg de p − v van elk product naar zijn aandeel in het aantal stuks. Break-evenaantal = F/(gewogen dekkingsbijdrage), daarna weer verdeeld volgens de mixverhouding.