Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 7 jaar €20 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €20 0005% / 4n = 7
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €25 000 wordt in 3 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €25 0002,4% / 12N = 36
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €6 000, €5 000, €6 000, €6 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €23 000, €15 500, €9 500 op. Project B kost €42 000 en levert €13 000, €17 000, €22 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 12 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%) als het effectieve rendement 2,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 4% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 12y0 = 2,5%y1 = 4%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 050 met een effectief rendement van 5% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 5,8 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 25 basispunten stijgt.
P0 = €1 050y = 5%D = 5,8Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €8 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van de preferente aandelen 6% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €19,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 1,3rf = 2%rm = 7%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product wordt verkocht voor €40 met variabele kosten van €25 per stuk. De vaste kosten zijn €15 000 per maand en over de winst wordt 20 % belasting geheven. Hoeveel stuks Q moeten er per maand worden verkocht om €4 500 na belasting te verdienen?
p = €40v = €25F = €15 000T = 20%winst na belasting = €4 500
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 2 500 stuks per maand voor €23 per stuk, met variabele kosten van €15 per stuk en vaste kosten van €16 000 per maand. De variabele kosten stijgen met €3 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 2 500p = €23v = €15 → €18F = €16 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 14124 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·7 = 28
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,416 = €14 124,37
Antwoord
PV = €14 124,37
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 720,4 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·3 = 36
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,9306
A = 25 000·0,002/(1 − 0,9306) = €720,44
Antwoord
A = €720,44
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −1403 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 6 000/1,09 = 5 504,59
CF2/(1 + 0,09)2 = 5 000/1,188 = 4 208,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 6 000/1,295 = 4 633,10
CF4/(1 + 0,09)4 = 6 000/1,412 = 4 250,55
Optellen
NPV = €−1 403,36
Antwoord
NPV = €−1 403,36
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 7,766 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 13 000 − 23 000 = −10 000
ΔCF2 = 17 000 − 15 500 = 1 500
ΔCF3 = 22 000 − 9 500 = 12 500
IRR van het verschil
NPVΔ(7%) = 168,09
NPVΔ(8%) = −50,35
r* = 7,766%
Antwoord
r* = 7,766%
Controle: bij 7,766% zijn beide NCW’s €2 279,95.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = −9,11 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 5,8/1,05 = 5,524
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −5,524·(0,0025) = −1,381%
P ≈ 1050·(1 − 0,01381) = €1 035,50
Antwoord
P = €1 035,50
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,403 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Benodigde winst vóór belasting
4 500/(1 − 0,2) = €5 625
Benodigde eenheden
Q = (15 000 + 5 625)/15 = 1 375
Antwoord
Q = 1 375 stuks
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 4000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).