Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een creditcard rekent een nominale rente van 16 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 16%m = 12
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €200 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 18? Bereken de restschuld B.
P = €200 0007,2% / 12N = 360k = 216
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €34 000, €18 000, €26 000. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €22 500, €16 500, €9 500 op. Project B kost €50 000 en levert €16 000, €19 000, €26 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 4% naar 6%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 2%n = 8y1 = 4%y2 = 6%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 11 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 202. De uitgever kan haar over 3 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 202aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 3 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €8 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van de preferente aandelen 6,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5%. Het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €40,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 10%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 10%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een bedrijf verkoopt 1 200 stuks voor €30 per stuk. De variabele kosten zijn €20 per stuk en de vaste kosten €8 000. Bereken de operationele hefboom DOL bij dit verkoopniveau.
Q = 1 200p = €30v = €20F = €8 000
DOL =
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 630 stuks voor €20 per stuk, met variabele kosten van €8 per stuk en vaste kosten van €6 000. Met welk percentage %ΔΠ verandert het bedrijfsresultaat als het afzetvolume met 10 % stijgt?
Q = 630p = €20v = €8F = €6 000%ΔQ = +10%
%ΔΠ = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 17,23 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,16/12 = 0,01333
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,01333)12 − 1 = 1,172 − 1 = 17,23%
Antwoord
EAR = 17,23%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 130653 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 216 = 144
B = 1358·(1 − (1 + 0,006)−144)/0,006 = €130 652,63
Antwoord
B = €130 652,63
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −11787 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 34 000/1,12 = 30 357,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 18 000/1,254 = 14 349,49
CF3/(1 + 0,12)3 = 26 000/1,405 = 18 506,29
Optellen
NPV = €−11 787,08
Antwoord
NPV = €−11 787,08
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 6,962 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 16 000 − 22 500 = −6 500
ΔCF2 = 19 000 − 16 500 = 2 500
ΔCF3 = 26 500 − 9 500 = 17 000
IRR van het verschil
NPVΔ(6%) = 366,44
NPVΔ(7%) = −14,11
r* = 6,962%
Antwoord
r* = 6,962%
Controle: bij 6,962% zijn beide NCW’s €3 220,43.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −113,7 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1202 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
Los numeriek op
y = 3%: €1 214,64
y = 4%: €1 182,12
YTC = 3,384%
Antwoord
YTC = 3,384%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 5,503%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,657 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.
Totale dekkingsbijdrage
CM = 1 200·(30 − 20) = €12 000
Bedrijfsresultaat
Π = 12 000 − 8 000 = €4 000
DOL
DOL = 12 000/4 000 = 3
Antwoord
DOL = 3
10.Break-evenanalyse
Antwoord: %ΔΠ = 48,46 %
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.