Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €20 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 4 % per jaar. Het vereiste rendement is 10 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €20 000g = 4%r = 10%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 6 jaar lang aan het eind van elke maand €100. De rekening geeft 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1003% / 12N = 72
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €12 000, €13 000, €18 000, €9 500 op. De vermogenskosten zijn 8 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Project A kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €22 500, €16 500, €9 500 op. Project B kost €50 000 en levert €14 500, €19 500, €28 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 5 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%) als het effectieve rendement 8% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 9% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 5y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 19 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 268. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 268aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,8 heeft een vereist rendement van 4,2%. De risicovrije rente is 1%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,8re = 4,2%rf = 1%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1,2. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,6 aan te houden. Het belastingtarief is 25%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 5,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1,2D/E = 0,6T = 25%rf = 3%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product wordt verkocht voor €28 per stuk met variabele kosten van €8 per stuk. De vaste kosten zijn €100 000 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €10 000?
F = €100 000p = €28v = €8winst = €10 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €6 per stuk, met variabele kosten van €4 per stuk en vaste kosten van €1 000 per jaar. De begrote afzet is 700 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €1 000p = €6v = €4begroting = 700
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 333333 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 12 000/1,08 = 11 111,11 → Σ = 11 111,11
jaar 2: 13 000/1,166 = 11 145,40 → Σ = 22 256,52
jaar 3: 18 000/1,26 = 14 288,98 → Σ = 36 545,50
jaar 4: 9 500/1,36 = 6 982,78 → Σ = 43 528,28
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 3 454,50/6 982,78 = 3,495
Antwoord
DPB = 3,495 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,833 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 8,629 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 14 500 − 22 500 = −8 000
ΔCF2 = 19 500 − 16 500 = 3 000
ΔCF3 = 28 500 − 9 500 = 19 000
IRR van het verschil
NPVΔ(8%) = 247,42
NPVΔ(9%) = −142,92
r* = 8,629%
Antwoord
r* = 8,629%
Controle: bij 8,629% zijn beide NCW’s €2 106,40.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 4,566 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1268 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 4%: €1 296,56
y = 5%: €1 243,70
YTC = 4,534%
Antwoord
YTC = 4,534%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,503%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (4,2% − 1%)/0,8 = 4%
Marktrendement
rm = 1% + 4% = 5%
Antwoord
rm = 5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 12,57 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1,2·(1 + 0,75·0,6) = 1,74
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 1,74·5,5% = 12,57%
Antwoord
re = 12,57%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 5500 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).