Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 6 jaar.
PV = €2 0003,6% / 12n = 6
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €250 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €250 0006% / 12N = 240
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €17 500 op. De vermogenskosten zijn 6 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Project A kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €4 000, €2 000 op. Project B kost €12 000 en levert €3 000, €4 500, €6 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 5%n = 4
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 6 jaar af en wordt verkocht voor €1 085. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 6P = €1 085
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
E = €6 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 4%T = 25%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €8 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 13%. Het vreemd vermogen bestaat uit 4 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%, resterende looptijd 7 jaar) die elk op €948 noteren. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €15 000 per jaar en variabele kosten van €15 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €17 000 per jaar en variabele kosten van €11 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €15 000vA = €15FB = €17 000vB = €11
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 2 500 stuks voor €15 per stuk, met variabele kosten van €12 per stuk en vaste kosten van €6 000. Met welk percentage %ΔΠ verandert het bedrijfsresultaat als het afzetvolume met 8 % daalt?
Q = 2 500p = €15v = €12F = €6 000%ΔQ = −8%
%ΔΠ = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2481 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·20 = 240
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,3021
A = 250 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 791,08
Antwoord
A = €1 791,08
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,232 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 17 500/1,06 = 16 509,43 → Σ = 16 509,43
jaar 2: 17 500/1,124 = 15 574,94 → Σ = 32 084,37
jaar 3: 17 500/1,191 = 14 693,34 → Σ = 46 777,71
jaar 4: 17 500/1,262 = 13 861,64 → Σ = 60 639,35
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 3 222,29/13 861,64 = 3,232
Antwoord
DPB = 3,232 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,857 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 4,59 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 4 500 − 4 000 = 500
ΔCF3 = 6 500 − 2 000 = 4 500
IRR van het verschil
NPVΔ(4%) = 58,92
NPVΔ(5%) = −40,17
r* = 4,59%
Antwoord
r* = 4,59%
Controle: bij 4,59% zijn beide NCW’s €663,40.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1072 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, i = 0,025, N = 8
Contante waarde van de coupons
€35,00·(1 − 0,8207)/0,025 = €250,95
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8207 = €820,75
Koers
P = €1 071,70
Antwoord
P = €1 071,70
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 1,508 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 085 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Los numeriek op
P(1%) = €1 115,91, P(2%) = €1 056,01
YTM = 1,508%
Antwoord
YTM = 1,508%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·4%·(1 − 0,25) = 5,5%
Antwoord
WACC = 5,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,88 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
15 000 + 15Q = 17 000 + 11Q
Los Q op
Q = (17 000 − 15 000)/(15 − 11) = 500
Antwoord
Q = 500 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: %ΔΠ = −40 %
Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.