Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een creditcard rekent een nominale rente van 18 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 18%m = 12
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €200 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €200 0003% / 12N = 300
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €100 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €6 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 1 % per jaar. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 1%r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €29 500, €25 500, €23 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 29 500CF2 = 25 500CF3 = 23 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 15 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 151 als het effectieve rendement 5,5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 15P = €1 151YTM = 5,5%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 7%n = 5YTM = 5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,2 heeft een vereist rendement van 5,8%. De risicovrije rente is 1%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,2re = 5,8%rf = 1%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €58,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €34 800 000. Ze heeft net een dividend van €2,60 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 3% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €29 000 000 en kosten vóór belasting van 6%. Het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €15 000 per jaar en variabele kosten van €20 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €20 000 per jaar en variabele kosten van €18 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €15 000vA = €20FB = €20 000vB = €18
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €35 per stuk, met variabele kosten van €30 per stuk en vaste kosten van €20 000 per jaar. De begrote afzet is 6 400 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €20 000p = €35v = €30begroting = 6 400
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 19,56 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,18/12 = 0,015
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,015)12 − 1 = 1,196 − 1 = 19,56%
Antwoord
EAR = 19,56%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 84527 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,0025, N = 300
A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−300) = €948,42
Totale rente
I = N·A − P = 300·948,4 − 200 000 = €84 526,79
Antwoord
I = €84 526,79
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −14286 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 6 000/(0,08 − 0,01) = 85 714,29
NPV
NPV = 85 714,29 − 100 000 = −€14 285,71
Antwoord
NPV = −€14 285,71
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 45,04 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(45%) = 17,63
NPV(50%) = −2 185,19
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 45 + 5·17,63/(17,63 − (−2 185,19)) = 45,04%
exact: NPV(45,04%) = 0 → IRR = 45,04%
Antwoord
IRR = 45,04%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 7,004 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,055)−15 = €447,93
Coupon
C = (1151 − 447,93)/10,04 = €70,04
Couponrente
c = 70,04/1000 = 7,004%
Antwoord
c = 7,004%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 4,415 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 70/1,05 = 66,67, t·PV = 66,67
t = 2: 70/1,103 = 63,49, t·PV = 126,98
t = 3: 70/1,158 = 60,47, t·PV = 181,41
t = 4: 70/1,216 = 57,59, t·PV = 230,36
t = 5: 1070/1,276 = 838,37, t·PV = 4 191,86
Duration
P = 1 086,59
D = 4 797,28/1 086,59 = 4,415
Antwoord
D = 4,415 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (5,8% − 1%)/1,2 = 4%
Marktrendement
rm = 1% + 4% = 5%
Antwoord
rm = 5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,478 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
15 000 + 20Q = 20 000 + 18Q
Los Q op
Q = (20 000 − 15 000)/(20 − 18) = 2 500
Antwoord
Q = 2 500 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: MS = 37,5 %
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).