Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €6 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 4 % per jaar. Het vereiste rendement is 9 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €6 000g = 4%r = 9%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €30 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €30 0005,4% / 12N = 48
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €14 000, €12 000, €12 000, €7 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost vandaag €100 000. De kasstroom is €14 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 3 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 8. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €14 000g = 3%n = 8r = 10%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 8% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 8%n = 4
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 14 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%) wordt verkocht voor €1 226. De uitgever kan haar over 6 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 050. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 5%P = €1 226aflossingsprijs = €1 050vervroegd aflosbaar over 6 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 1,5. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3,5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
D/E = 1,5re = 9%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €33,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 6%. Bereken de WACC.
β = 1,8rf = 1,5%rm = 6%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product wordt verkocht voor €16 met variabele kosten van €6 per stuk. De vaste kosten zijn €15 000 per maand en over de winst wordt 20 % belasting geheven. Hoeveel stuks Q moeten er per maand worden verkocht om €6 000 na belasting te verdienen?
p = €16v = €6F = €15 000T = 20%winst na belasting = €6 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt twee producten. Product A wordt verkocht voor €15 met variabele kosten van €12; product B voor €18 met variabele kosten van €10. Ze worden verkocht in een vaste verhouding van 5 stuks A op elke 2 B. De vaste kosten zijn €6 200 per maand. Bereken het totale aantal stuks Q (A en B samen) dat nodig is om quitte te spelen.
pA = €15, vA = €12pB = €18, vB = €10A : B = 5 : 2F = €6 200
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 120000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,0045, N = 48
A = 30 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−48) = €696,33
Totale rente
I = N·A − P = 48·696,3 − 30 000 = €3 423,74
Antwoord
I = €3 423,74
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 9508 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 14 000/1,06 = 13 207,55
CF2/(1 + 0,06)2 = 12 000/1,124 = 10 679,96
CF3/(1 + 0,06)3 = 12 000/1,191 = 10 075,43
CF4/(1 + 0,06)4 = 7 000/1,262 = 5 544,66
Optellen
NPV = €9 507,59
Antwoord
NPV = €9 507,59
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −18192 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de groeiende annuïteit
((1,03)/(1,1))8 = 0,591
PV = 14 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,591) = 81 808,48
NPV
NPV = 81 808,48 − 100 000 = −€18 191,52
Antwoord
NPV = −€18 191,52
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 831,7 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,04, N = 8
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,7307)/0,04 = €100,99
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7307 = €730,69
Koers
P = €831,68
Antwoord
P = €831,68
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 1,791 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1226 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
Los numeriek op
y = 1%: €1 278,92
y = 2%: €1 212,44
YTC = 1,791%
Antwoord
YTC = 1,791%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 2,999%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,28 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·9% + 0,6·3,5%·(1 − 0,2) = 5,28%
Antwoord
WACC = 5,28%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,659 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Benodigde winst vóór belasting
6 000/(1 − 0,2) = €7 500
Benodigde eenheden
Q = (15 000 + 7 500)/10 = 2 250
Antwoord
Q = 2 250 stuks
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 1400 stuks
Break-even met een verkoopmix: als producten in een vaste verhouding worden verkocht, gebruik je de gewogen gemiddelde dekkingsbijdrage: weeg de p − v van elk product naar zijn aandeel in het aantal stuks. Break-evenaantal = F/(gewogen dekkingsbijdrage), daarna weer verdeeld volgens de mixverhouding.