Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €6 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 1,5 % per jaar. Het vereiste rendement is 3,5 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €6 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 16? Bereken de restschuld B.
P = €300 0004,8% / 12N = 360k = 192
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €30 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €12 000, €12 500, €10 000, €11 000 op. De vermogenskosten zijn 12 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €6 500, €5 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 5 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 5,5%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 035 met een effectief rendement van 3% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 3,2 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 25 basispunten stijgt.
P0 = €1 035y = 3%D = 3,2Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
E = €4 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €11,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 2%rm = 7%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product wordt verkocht voor €34 met variabele kosten van €30 per stuk. De vaste kosten zijn €8 000 per maand en over de winst wordt 20 % belasting geheven. Hoeveel stuks Q moeten er per maand worden verkocht om €4 000 na belasting te verdienen?
p = €34v = €30F = €8 000T = 20%winst na belasting = €4 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 6 000 stuks per maand voor €10 per stuk, met variabele kosten van €4 per stuk en vaste kosten van €24 000 per maand. De variabele kosten stijgen met €2 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 6 000p = €10v = €4 → €6F = €24 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 300000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 192 = 168
B = 1574·(1 − (1 + 0,004)−168)/0,004 = €192 274,96
Antwoord
B = €192 274,96
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,315 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 12 000/1,12 = 10 714,29 → Σ = 10 714,29
jaar 2: 12 500/1,254 = 9 964,92 → Σ = 20 679,21
jaar 3: 10 000/1,405 = 7 117,80 → Σ = 27 797,01
jaar 4: 11 000/1,574 = 6 990,70 → Σ = 34 787,71
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 2 202,99/6 990,70 = 3,315
Antwoord
DPB = 3,315 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,55 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 13,47 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 454,55
NPV(15%) = −189,04
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 10 + 5·454,55/(454,55 − (−189,04)) = 13,53%
exact: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%
Antwoord
IRR = 13,47%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1065 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, i = 0,0275, N = 10
Contante waarde van de coupons
€35,00·(1 − 0,7624)/0,0275 = €302,40
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7624 = €762,40
Koers
P = €1 064,80
Antwoord
P = €1 064,80
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1027 €
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 3,2/1,03 = 3,107
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −3,107·(0,0025) = −0,7767%
P ≈ 1035·(1 − 0,007767) = €1 026,96
Antwoord
P = €1 026,96
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,674 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·9% + 0,2·3%·(1 − 0,21) = 7,674%
Antwoord
WACC = 7,674%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,553 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Benodigde winst vóór belasting
4 000/(1 − 0,2) = €5 000
Benodigde eenheden
Q = (8 000 + 5 000)/4 = 3 250
Antwoord
Q = 3 250 stuks
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 9000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).