Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €2 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 3 jaar.
PV = €2 000r = 2%t = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €8 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €8 0004,8% / 12N = 72
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €30 000, gaat 4 jaar mee en kost €1 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €30 000M = €1 000n = 4r = 8%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een investering van €40 000 levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €15 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €40 000CF = €15 500n = 3
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 3% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 3%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 6 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 027. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 4% (2×)n = 6P = €1 027
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De WACC is 8,54%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 20%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €48,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 9,5%. Bereken de WACC.
β = 1,3rf = 3,5%rm = 9,5%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product wordt verkocht voor €30 met variabele kosten van €15 per stuk. De vaste kosten zijn €75 000 per maand en over de winst wordt 20 % belasting geheven. Hoeveel stuks Q moeten er per maand worden verkocht om €15 000 na belasting te verdienen?
p = €30v = €15F = €75 000T = 20%winst na belasting = €15 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 10 000 stuks per maand voor €47 per stuk, met variabele kosten van €45 per stuk en vaste kosten van €8 000 per maand. De variabele kosten stijgen met €1 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 10 000p = €47v = €45 → €46F = €8 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2124 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,02·3 = 0,06
e0,06 = 1,062
Eindwaarde
FV = 2 000·1,062 = €2 123,67
Antwoord
FV = €2 123,67
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 128,1 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·6 = 72
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,7502
A = 8 000·0,004/(1 − 0,7502) = €128,10
Antwoord
A = €128,10
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 10058 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,08−4)/0,08 = 3,312
Aanschafprijs omgerekend per jaar
30 000/3,312 = 9 057,62
EAC
EAC = 9 057,62 + 1 000 = €10 057,62
Antwoord
EAC = €10 057,62
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 7,924 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−3)/i = 40 000/15 500 = 2,581
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 7%: 2,624
i = 8%: 2,577
IRR = 7,924%
Antwoord
IRR = 7,924%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1184 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, i = 0,015, N = 10
Contante waarde van de coupons
€35,00·(1 − 0,8617)/0,015 = €322,78
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8617 = €861,67
Koers
P = €1 184,44
Antwoord
P = €1 184,44
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,497 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, N = 12
Los numeriek op
i = 1,749% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,749% = 3,497%
Antwoord
YTM = 3,497%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,2857·3%·(1 − 0,2) = 0,6857%
Kosten van het eigen vermogen
re = (8,54% − 0,6857%)/0,7143 = 11%
Antwoord
re = 11%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,501 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Benodigde winst vóór belasting
15 000/(1 − 0,2) = €18 750
Benodigde eenheden
Q = (75 000 + 18 750)/15 = 6 250
Antwoord
Q = 6 250 stuks
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 20000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).