Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €3 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 8 jaar.
PV = €3 0003,6% / 4n = 8
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 5 jaar lang aan het eind van elke maand €50. De rekening geeft 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €506% / 12N = 60
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €30 000, gaat 8 jaar mee en kost €5 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €30 000M = €5 000n = 8r = 6%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Project A kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €11 000, €7 500, €4 500 op. Project B kost €25 000 en levert €6 500, €10 000, €13 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 9 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 4%n = 9
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% en loopt over 6 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 2%n = 6YTM = 5,5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €45,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 8,5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product wordt verkocht voor €23 per stuk met variabele kosten van €18 per stuk. De vaste kosten zijn €10 000 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €5 000?
F = €10 000p = €23v = €18winst = €5 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 7 500 stuks per maand voor €30 per stuk, met variabele kosten van €18 per stuk en vaste kosten van €60 000 per maand. De variabele kosten stijgen met €4 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 7 500p = €30v = €18 → €22F = €60 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3996 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,06−8)/0,06 = 6,21
Aanschafprijs omgerekend per jaar
30 000/6,21 = 4 831,08
EAC
EAC = 4 831,08 + 5 000 = €9 831,08
Antwoord
EAC = €9 831,08
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 6,578 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −25 000 − (−20 000) = −5 000
ΔCF1 = 6 500 − 11 000 = −4 500
ΔCF2 = 10 000 − 7 500 = 2 500
ΔCF3 = 13 000 − 4 500 = 8 500
IRR van het verschil
NPVΔ(6%) = 116,47
NPVΔ(7%) = −83,48
r* = 6,578%
Antwoord
r* = 6,578%
Controle: bij 6,578% zijn beide NCW’s €641,09.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 925 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,02, N = 18
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,7002)/0,02 = €224,88
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7002 = €700,16
Koers
P = €925,04
Antwoord
P = €925,04
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 5,678 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 20/1,055 = 18,96, t·PV = 18,96
t = 2: 20/1,113 = 17,97, t·PV = 35,94
t = 3: 20/1,174 = 17,03, t·PV = 51,10
t = 4: 20/1,239 = 16,14, t·PV = 64,58
t = 5: 20/1,307 = 15,30, t·PV = 76,51
t = 6: 1020/1,379 = 739,75, t·PV = 4 438,50
Duration
P = 825,16
D = 4 685,59/825,16 = 5,678
Antwoord
D = 5,678 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,207 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).