Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 8 jaar €40 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €40 0005% / 4n = 8
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €12 000 tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €525 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €12 000A = €5252,4% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 8 jaar mee en kost €3 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €3 000n = 8r = 6%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een investering van €20 000 levert 9 jaar lang aan het eind van elk jaar €2 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €20 000CF = €2 500n = 9
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 9% naar 8,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 7%n = 7y1 = 9%y2 = 8,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €980 met een effectief rendement van 4% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 3,1 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 150 basispunten daalt.
P0 = €980y = 4%D = 3,1Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €4 000 000, preferente aandelen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van de preferente aandelen 6,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €46,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 3,5% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €30 000 per jaar en variabele kosten van €10 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €54 000 per jaar en variabele kosten van €4 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €30 000vA = €10FB = €54 000vB = €4
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €35 per stuk, met variabele kosten van €25 per stuk en vaste kosten van €8 000 per jaar. De begrote afzet is 1 200 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €8 000p = €35v = €25begroting = 1 200
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 26879 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·8 = 32
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,488 = €26 879,36
Antwoord
PV = €26 879,36
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 24 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,002/525 = 0,9543
Los op met logaritmen
N = −ln(0,9543)/ln(1,002) = 23,42
Rond naar boven af op hele betalingen
23 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 24
Antwoord
N = 24 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 9441 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,06−8)/0,06 = 6,21
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/6,21 = 6 441,44
EAC
EAC = 6 441,44 + 3 000 = €9 441,44
Antwoord
EAC = €9 441,44
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 2,423 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−9)/i = 20 000/2 500 = 8
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 2%: 8,162
i = 3%: 7,786
IRR = 2,423%
Antwoord
IRR = 2,423%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 23,88 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 3,1/1,04 = 2,981
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −2,981·(−0,015) = 4,471%
P ≈ 980·(1 + 0,04471) = €1 023,82
Antwoord
P = €1 023,82
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,568 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
30 000 + 10Q = 54 000 + 4Q
Los Q op
Q = (54 000 − 30 000)/(10 − 4) = 4 000
Antwoord
Q = 4 000 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: MS = 33,33 %
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).