Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een creditcard rekent een nominale rente van 18 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 18%m = 2
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €200 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 2? Bereken de restschuld B.
P = €200 0007,2% / 12N = 240k = 24
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €13 000, €17 000, €13 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €23 000, €25 000, €21 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 12 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 12 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 375 als het effectieve rendement 4% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 12P = €1 375YTM = 4%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 13 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 079. De uitgever kan haar over 6 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 079aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 6 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,8 heeft een vereist rendement van 7,1%. De risicovrije rente is 1,5%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,8re = 7,1%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €5 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 13%. Het vreemd vermogen bestaat uit 2 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%, resterende looptijd 7 jaar) die elk op €974 noteren. Het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Een product wordt verkocht voor €19 per stuk met variabele kosten van €15 per stuk. De vaste kosten zijn €8 000 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €6 000?
F = €8 000p = €19v = €15winst = €6 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 1 600 stuks per maand voor €35 per stuk, met variabele kosten van €30 per stuk en vaste kosten van €4 000 per maand. De variabele kosten stijgen met €1 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 1 600p = €35v = €30 → €31F = €4 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 18,81 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,18/2 = 0,09
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,09)2 − 1 = 1,188 − 1 = 18,81%
Antwoord
EAR = 18,81%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 190359 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 240 − 24 = 216
B = 1575·(1 − (1 + 0,006)−216)/0,006 = €190 358,55
Antwoord
B = €190 358,55
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −21691 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 13 000/1,06 = 12 264,15
CF2/(1 + 0,06)2 = 17 000/1,124 = 15 129,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 13 000/1,191 = 10 915,05
Optellen
NPV = €−21 690,86
Antwoord
NPV = €−21 690,86
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 15,9 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
23 000·1,122 = 28 851,20
25 000·1,121 = 28 000,00
21 000·1,120 = 21 000,00
TV = 77 851,20
MIRR
MIRR = (77 851,20/50 000)1/3 − 1 = 15,9%
Antwoord
MIRR = 15,9%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 7,996 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,04)−12 = €624,60
Coupon
C = (1375 − 624,60)/9,385 = €79,96
Couponrente
c = 79,96/1000 = 7,996%
Antwoord
c = 7,996%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 8,478 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1079 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Los numeriek op
y = 8%: €1 102,94
y = 9%: €1 053,66
YTC = 8,478%
Antwoord
YTC = 8,478%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 8%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 8,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (7,1% − 1,5%)/0,8 = 7%
Marktrendement
rm = 1,5% + 7% = 8,5%
Antwoord
rm = 8,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,83 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).