Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €2 000 tegen 3 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 6 jaar.
PV = €2 000r = 3%t = 6
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 24 jaar lang aan het eind van elke maand €250. De rekening geeft 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €2504,8% / 12N = 288
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €4 000, €6 000, €7 000. De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €15 000, €15 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 15 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 9 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 074 als het effectieve rendement 4% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 9P = €1 074YTM = 4%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €935. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 3P = €935
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,75. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
D/E = 0,75re = 10%rd = 3%T = 30%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen die noteren op €23,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €28 200 000. Ze heeft net een dividend van €2,90 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 2% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €28 200 000 en kosten vóór belasting van 5%. Het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €15 000 per jaar en variabele kosten van €20 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €39 000 per jaar en variabele kosten van €14 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €15 000vA = €20FB = €39 000vB = €14
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €40 per stuk, met variabele kosten van €25 per stuk en vaste kosten van €15 000 per jaar. De begrote afzet is 1 800 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €15 000p = €40v = €25begroting = 1 800
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2394 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,03·6 = 0,18
e0,18 = 1,197
Eindwaarde
FV = 2 000·1,197 = €2 394,43
Antwoord
FV = €2 394,43
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 134828 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 4 000/1,05 = 3 809,52
CF2/(1 + 0,05)2 = 6 000/1,103 = 5 442,18
CF3/(1 + 0,05)3 = 7 000/1,158 = 6 046,86
Optellen
NPV = €−4 701,44
Antwoord
NPV = €−4 701,44
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 14,26 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 1 446,28
NPV(15%) = −236,29
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,04)−9 = €702,59
Coupon
C = (1074 − 702,59)/7,435 = €49,95
Couponrente
c = 49,95/1000 = 4,995%
Antwoord
c = 4,995%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 7,499 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€935 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(7%) = €947,51, P(8%) = €922,69
YTM = 7,499%
Antwoord
YTM = 7,499%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,614 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·10% + 0,4286·3%·(1 − 0,3) = 6,614%
Antwoord
WACC = 6,614%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,43 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het eigen vermogen
D1 = 2,9·1,02 = €2,96
re = 2,958/23,5 + 0,02 = 14,59%
Marktwaarden
E = 2 000 000·€23,50 = €47 000 000
V = €75 200 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·14,59% + 0,375·5%·(1 − 0,3) = 10,43%
Antwoord
WACC = 10,43%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 4000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
15 000 + 20Q = 39 000 + 14Q
Los Q op
Q = (39 000 − 15 000)/(20 − 14) = 4 000
Antwoord
Q = 4 000 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: MS = 44,44 %
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).