Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 2 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0004% / 12n = 2
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 13 jaar €25 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 2,4 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €25 0002,4% / 12N = 156
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €100 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €12 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €12 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €7 500, €6 000, €5 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 6 000CF3 = 5 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 12 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €642 als het effectieve rendement 9% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 12P = €642YTM = 9%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Ze wordt verkocht voor €855. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 6% (2×)n = 11P = €855
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €8 000 000, preferente aandelen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van de preferente aandelen 8% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,5 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,25. Het belastingtarief is 21%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 4%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Een product wordt verkocht voor €28 met variabele kosten van €8 per stuk. De vaste kosten zijn €30 000 per maand en over de winst wordt 25 % belasting geheven. Hoeveel stuks Q moeten er per maand worden verkocht om €9 000 na belasting te verdienen?
p = €28v = €8F = €30 000T = 25%winst na belasting = €9 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 12 500 stuks per maand voor €51 per stuk, met variabele kosten van €45 per stuk en vaste kosten van €30 000 per maand. De variabele kosten stijgen met €1 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 12 500p = €51v = €45 → €46F = €30 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 46162 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·2 = 24
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,083 = €46 161,96
Antwoord
PV = €46 161,96
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 136,7 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 12 000/(0,12 − 0,03) = 133 333,33
NPV
NPV = 133 333,33 − 100 000 = €33 333,33
Antwoord
NPV = €33 333,33
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 42,03 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(40%) = 240,52
NPV(45%) = −333,76
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 40 + 5·240,52/(240,52 − (−333,76)) = 42,09%
exact: NPV(42,03%) = 0 → IRR = 42,03%
Antwoord
IRR = 42,03%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 4,001 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,09)−12 = €355,53
Coupon
C = (642 − 355,53)/7,161 = €40,01
Couponrente
c = 40,01/1000 = 4,001%
Antwoord
c = 4,001%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 8,007 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, N = 22
Los numeriek op
i = 4,004% per halfjaar
YTM
YTM = 2·4,004% = 8,007%
Antwoord
YTM = 8,007%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,12 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,5/(1 + 0,79·0,5) = 1,075
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 1,075·(1 + 0,79·1,25) = 2,137
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 2,137·4% = 12,05%
Antwoord
re = 12,05%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 2100 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Benodigde winst vóór belasting
9 000/(1 − 0,25) = €12 000
Benodigde eenheden
Q = (30 000 + 12 000)/20 = 2 100
Antwoord
Q = 2 100 stuks
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 15000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).