Ondernemingsfinanciering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

Break-evenanalyse

Dekkingsbijdrage: CM = p − v
Break-evenafzet: Q_BE = FC/(p − v)
Doelwinst: Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst: π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge: (Q − Q_BE)/Q

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je hebt over 2 jaar €5 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.

FV = €5 0005% / 12n = 2

PV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je leent €25 000 tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €325 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.

P = €25 000A = €3254,8% / 12

N = betalingen

3.NCW & IRRGemiddeld

Een machine kost vandaag €50 000. Ze levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €11 000 op en kan daarna voor €12 500 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €50 000CF = €11 000S = €12 500n = 5r = 6%

NPV = €

4.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost vandaag €200 000. De kasstroom is €22 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 5 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 10. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €22 000g = 5%n = 10r = 12%

NPV = €

5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3% naar 2,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?

F = €1 000coupon = 7%n = 4y₁ = 3%y₂ = 2,5%

ΔP = €

6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €1 030 met een effectief rendement van 4% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 8,7 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten daalt.

P₀ = €1 030y = 4%D = 8,7Δy = −100 bp

P = €

7.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM en WACCMoeilijk

De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,3 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 21%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen r_e na de wijziging.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,6T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Break-evenanalyseGemiddeld

Een product wordt verkocht voor €16 per stuk met variabele kosten van €8 per stuk. De vaste kosten zijn €40 000 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €20 000?

F = €40 000p = €16v = €8winst = €20 000

Q = stuks

10.Break-evenanalyseMoeilijk

Een product wordt verkocht voor €23 per stuk, met variabele kosten van €15 per stuk en vaste kosten van €9 600 per jaar. De begrote afzet is 1 560 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.

F = €9 600p = €23v = €15begroting = 1 560

MS = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 4525 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·2 = 24

Contante waarde

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,105 = €4 525,13

Antwoord

PV = €4 525,13

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: N = 93 betalingen

Herschrijf de annuïteitenformule

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,004/325 = 0,6923

Los op met logaritmen

N = −ln(0,6923)/ln(1,004) = 92,11

Rond naar boven af op hele betalingen

92 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.

N = 93

Antwoord

N = 93 betalingen

3.NCW & IRR

Antwoord: NPV = 5677 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen

11 000·4,212 = 46 336,00

Contante waarde van de restwaarde

12 500/1,338 = 9 340,73

NPV

NPV = −50 000 + 46 336,00 + 9 340,73 = €5 676,73

Antwoord

NPV = €5 676,73

4.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −50545 €

Contante waarde van de groeiende annuïteit

((1,05)/(1,12))¹⁰ = 0,5245

PV = 22 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,5245) = 149 455,28

NPV

NPV = 149 455,28 − 200 000 = −€50 544,72

Antwoord

NPV = −€50 544,72

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

5.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: ΔP = 20,6 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Koers bij het oude rendement

C = €70,00, i = 0,03, N = 4

€70,00·(1 − 0,8885)/0,03 + €1 000·0,8885 = €260,20 + €888,49 = €1 148,68

Koers bij het nieuwe rendement

C = €70,00, i = 0,025, N = 4

€70,00·(1 − 0,906)/0,025 + €1 000·0,906 = €263,34 + €905,95 = €1 169,29

Verandering

ΔP = 1 169,29 − 1 148,68 = €20,60

Antwoord

ΔP = €20,60

6.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1116 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 8,7/1,04 = 8,365

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −8,365·(−0,01) = 8,365%

P ≈ 1030·(1 + 0,08365) = €1 116,16

Antwoord

P = €1 116,16

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

7.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 7,966 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·10% + 0,2857·4%·(1 − 0,28) = 7,966%

Antwoord

WACC = 7,966%

8.CAPM en WACC

Antwoord: r_e = 11,24 %

Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij β_U de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).

Haal de hefboom uit de bèta

β_U = 1,3/(1 + 0,79·0,5) = 0,9319

Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E

β_L = 0,9319·(1 + 0,79·0,6) = 1,374

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 3% + 1,374·6% = 11,24%

Antwoord

r_e = 11,24%

9.Break-evenanalyse

Antwoord: Q = 7500 stuks

Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).

Dekkingsbijdrage per stuk

p − v = 16 − 8 = €8

Afzet voor de doelwinst

Q = (F + winst)/(p − v) = (40 000 + 20 000)/8 = 7 500

Antwoord

Q = 7 500 stuks

10.Break-evenanalyse

Antwoord: MS = 23,08 %

Break-evenafzet

Q = F/(p − v) = 9 600/8 = 1 200

Veiligheidsmarge

MS = (1 560 − 1 200)/1 560·100 = 23,08%

Antwoord

MS = 23,08%

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance