Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een creditcard rekent een nominale rente van 16 % per jaar, dagelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 16%m = 365
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €200 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 8? Bereken de restschuld B.
P = €200 0003% / 12N = 300k = 96
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €20 000, gaat 4 jaar mee en kost €4 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €20 000M = €4 000n = 4r = 6%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Project A kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €11 000, €8 000, €4 500 op. Project B kost €22 000 en levert €6 500, €8 500, €11 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 8% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 8%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Ze wordt verkocht voor €907. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 2% (2×)n = 11P = €907
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,6 heeft een vereist rendement van 3,4%. De risicovrije rente is 1%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,6re = 3,4%rf = 1%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €23,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 0,6, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 0,6rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product wordt verkocht voor €18 met variabele kosten van €8 per stuk. De vaste kosten zijn €8 000 per maand en over de winst wordt 25 % belasting geheven. Hoeveel stuks Q moeten er per maand worden verkocht om €1 500 na belasting te verdienen?
p = €18v = €8F = €8 000T = 25%winst na belasting = €1 500
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €30 per stuk, met variabele kosten van €25 per stuk en vaste kosten van €12 500 per jaar. De begrote afzet is 4 000 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €12 500p = €30v = €25begroting = 4 000
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 17,35 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,16/365 = 0,0004384
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,0004384)365 − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%
Antwoord
EAR = 17,35%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 151415 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,0025, N = 300
A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−300) = €948,42
Contante waarde van de resterende betalingen
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 300 − 96 = 204
B = 948,4·(1 − (1 + 0,0025)−204)/0,0025 = €151 414,58
Antwoord
B = €151 414,58
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 9772 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,06−4)/0,06 = 3,465
Aanschafprijs omgerekend per jaar
20 000/3,465 = 5 771,83
EAC
EAC = 5 771,83 + 4 000 = €9 771,83
Antwoord
EAC = €9 771,83
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 6,579 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 500 − 11 000 = −4 500
ΔCF2 = 8 500 − 8 000 = 500
ΔCF3 = 11 500 − 4 500 = 7 000
IRR van het verschil
NPVΔ(6%) = 77,05
NPVΔ(7%) = −54,80
r* = 6,579%
Antwoord
r* = 6,579%
Controle: bij 6,579% zijn beide NCW’s €1 080,79.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 566,5 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, i = 0,04, N = 22
Contante waarde van de coupons
€10,00·(1 − 0,422)/0,04 = €144,51
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,422 = €421,96
Koers
P = €566,47
Antwoord
P = €566,47
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 2,999 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, N = 22
Los numeriek op
i = 1,499% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,499% = 2,999%
Antwoord
YTM = 2,999%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (3,4% − 1%)/0,6 = 4%
Marktrendement
rm = 1% + 4% = 5%
Antwoord
rm = 5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,274 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Benodigde winst vóór belasting
1 500/(1 − 0,25) = €2 000
Benodigde eenheden
Q = (8 000 + 2 000)/10 = 1 000
Antwoord
Q = 1 000 stuks
10.Break-evenanalyse
Antwoord: MS = 37,5 %
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).