Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €12 000 tegen een nominale rente van 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 9 jaar.
PV = €12 0004,8% / 12n = 9
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 15 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3002,4% / 12N = 180
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €100 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €9 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 4 % per jaar. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost vandaag €200 000. De kasstroom is €30 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 3 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 6. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €200 000CF1 = €30 000g = 3%n = 6r = 8%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 15 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 6% naar 5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 7%n = 15y1 = 6%y2 = 5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 12 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 9%) wordt verkocht voor €1 204. De uitgever kan haar over 4 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 090. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 204aflossingsprijs = €1 090vervroegd aflosbaar over 4 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De WACC is 8,45%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,3 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,75. Het belastingtarief is 21%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Een product wordt verkocht voor €35 per stuk met variabele kosten van €15 per stuk. De vaste kosten zijn €80 000 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €10 000?
F = €80 000p = €35v = €15winst = €10 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt twee producten. Product A wordt verkocht voor €14 met variabele kosten van €8; product B voor €37 met variabele kosten van €25. Ze worden verkocht in een vaste verhouding van 2 stuks A op elke 1 B. De vaste kosten zijn €7 200 per maand. Bereken het totale aantal stuks Q (A en B samen) dat nodig is om quitte te spelen.
pA = €14, vA = €8pB = €37, vB = €25A : B = 2 : 1F = €7 200
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 18468 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 9 000/(0,12 − 0,04) = 112 500,00
NPV
NPV = 112 500,00 − 100 000 = €12 500,00
Antwoord
NPV = €12 500,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −51473 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 110,5 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1204 = 90·(1 − (1 + y)−4)/y + 1090/(1 + y)4
Los numeriek op
y = 5%: €1 215,88
y = 6%: €1 175,24
YTC = 5,288%
Antwoord
YTC = 5,288%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,5%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11,01 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,3333·4,5%·(1 − 0,258) = 1,113%
Kosten van het eigen vermogen
re = (8,45% − 1,113%)/0,6667 = 11,01%
Antwoord
re = 11,01%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14,23 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,3/(1 + 0,79·0,2) = 1,123
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 1,123·(1 + 0,79·0,75) = 1,788
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 1,788·6% = 14,23%
Antwoord
re = 14,23%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 4500 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Break-even met een verkoopmix: als producten in een vaste verhouding worden verkocht, gebruik je de gewogen gemiddelde dekkingsbijdrage: weeg de p − v van elk product naar zijn aandeel in het aantal stuks. Break-evenaantal = F/(gewogen dekkingsbijdrage), daarna weer verdeeld volgens de mixverhouding.