Ondernemingsfinanciering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

Break-evenanalyse

Dekkingsbijdrage: CM = p − v
Break-evenafzet: Q_BE = FC/(p − v)
Doelwinst: Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst: π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge: (Q − Q_BE)/Q

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €5 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 4 % per jaar. Het vereiste rendement is 10 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.

C₁ = €5 000g = 4%r = 10%

PV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een lening van €8 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.

P = €8 0004,8% / 12N = 48

A = €

3.NCW & IRRGemiddeld

Een machine kost vandaag €60 000. Ze levert 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €8 500 op en kan daarna voor €6 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €60 000CF = €8 500S = €6 000n = 7r = 12%

NPV = €

4.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €9 500, €9 000, €15 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 9 000CF₃ = 15 000

IRR = %

5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement is 6% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 6%n = 12

P = €

6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €1 095 met een effectief rendement van 7% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 11,1 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 75 basispunten daalt.

P₀ = €1 095y = 7%D = 11,1Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 12%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

8.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €8 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 12%. Het vreemd vermogen bestaat uit 5 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4%, resterende looptijd 4 jaar) die elk op €1 056 noteren. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.

E = €8 000 000r_e = 12%obligaties: 5 000 × €1 056coupon = 4%n = 4T = 25,8%

WACC = %

9.Break-evenanalyseGemiddeld

Een product wordt verkocht voor €30 per stuk met variabele kosten van €25 per stuk. De vaste kosten zijn €12 500 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €10 000?

F = €12 500p = €30v = €25winst = €10 000

Q = stuks

10.Break-evenanalyseMoeilijk

Een bedrijf verkoopt 6 250 stuks voor €16 per stuk, met variabele kosten van €6 per stuk en vaste kosten van €50 000. Met welk percentage %ΔΠ verandert het bedrijfsresultaat als het afzetvolume met 15 % stijgt?

Q = 6 250p = €16v = €6F = €50 000%ΔQ = +15%

%ΔΠ = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 83333 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Groeiende perpetuïteit

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0,1 − 0,04) = 5 000/0,06 = €83 333,33

Antwoord

PV = €83 333,33

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: A = 183,5 €

Maandrente en aantal termijnen

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Termijn

De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.

(1 + i)^−N = 0,8256

A = 8 000·0,004/(1 − 0,8256) = €183,51

Antwoord

A = €183,51

3.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −18494 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen

8 500·4,564 = 38 791,93

Contante waarde van de restwaarde

6 000/2,211 = 2 714,10

NPV

NPV = −60 000 + 38 791,93 + 2 714,10 = −€18 493,97

Antwoord

NPV = −€18 493,97

4.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 28,22 %

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(25%) = 1 040,00

NPV(30%) = −539,37

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 25 + 5·1 040,00/(1 040,00 − (−539,37)) = 28,29%

exact: NPV(28,22%) = 0 → IRR = 28,22%

Antwoord

IRR = 28,22%

5.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 661,3 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €10,00, i = 0,03, N = 24

Contante waarde van de coupons

€10,00·(1 − 0,4919)/0,03 = €169,36

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,4919 = €491,93

Koers

P = €661,29

Antwoord

P = €661,29

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

6.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1180 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 11,1/1,07 = 10,37

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −10,37·(−0,0075) = 7,78%

P ≈ 1095·(1 + 0,0778) = €1 180,20

Antwoord

P = €1 180,20

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

7.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 8,064 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·12% + 0,4·3%·(1 − 0,28) = 8,064%

Antwoord

WACC = 8,064%

8.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 7,97 %

Kosten van het vreemd vermogen (YTM)

1056 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 2,511%

Marktwaarden

D = 5 000·€1 056 = €5 280 000

V = €13 280 000, E/V = 0,6024, D/V = 0,3976

WACC

WACC = 0,6024·12% + 0,3976·2,511%·(1 − 0,258) = 7,97%

Antwoord

WACC = 7,97%

9.Break-evenanalyse

Antwoord: Q = 4500 stuks

Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).

Dekkingsbijdrage per stuk

p − v = 30 − 25 = €5

Afzet voor de doelwinst

Q = (F + winst)/(p − v) = (12 500 + 10 000)/5 = 4 500

Antwoord

Q = 4 500 stuks

10.Break-evenanalyse

Antwoord: %ΔΠ = 75 %

Operationele hefboom: vaste kosten laten de winst sterker reageren dan de omzet. De operationele hefboom DOL = dekkingsbijdrage/bedrijfsresultaat geeft aan dat een verandering van 1% in de verkopen de winst met DOL % verandert. Hij is heel hoog net boven het break-evenpunt en daalt als de verkopen groeien.

Dekkingsbijdrage en winst

CM = 6 250·10 = €62 500

Π = 62 500 − 50 000 = €12 500

DOL

DOL = 62 500/12 500 = 5

Verandering van de winst

%ΔΠ = 5·(+15%) = +75%

Antwoord

%ΔΠ = +75%

Controle: nieuwe winst = 7 187·10 − 50 000 = €21 875,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance