Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 3 jaar €20 000 nodig. Een rekening geeft 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €20 0004,8% / 12n = 3
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 20 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3007,2% / 12N = 240
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €5 000, €7 000, €4 000, €6 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €6 500, €11 000, €8 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 10 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 3 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4%) als het effectieve rendement 2,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 1,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 3y0 = 2,5%y1 = 1,5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 6 jaar af en wordt verkocht voor €925. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 6P = €925
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,4. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 7% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
D/E = 0,4re = 12%rd = 7%T = 30%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €45,50 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 8%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 8%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Break-evenanalyseGemiddeld
Een product kan op twee manieren worden gemaakt. Methode A heeft vaste kosten van €30 000 per jaar en variabele kosten van €20 per stuk. Methode B, meer geautomatiseerd, heeft vaste kosten van €38 000 per jaar en variabele kosten van €18 per stuk. Bij welk jaarvolume Q kosten beide methoden evenveel?
FA = €30 000vA = €20FB = €38 000vB = €18
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een product wordt verkocht voor €26 per stuk, met variabele kosten van €6 per stuk en vaste kosten van €40 000 per jaar. De begrote afzet is 2 500 stuks. Bereken de veiligheidsmarge MS als percentage van de begrote afzet.
F = €40 000p = €26v = €6begroting = 2 500
MS = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 17323 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,155 = €17 322,73
Antwoord
PV = €17 322,73
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 160129 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 5 000/1,15 = 4 347,83
CF2/(1 + 0,15)2 = 7 000/1,322 = 5 293,01
CF3/(1 + 0,15)3 = 4 000/1,521 = 2 630,06
CF4/(1 + 0,15)4 = 6 000/1,749 = 3 430,52
Optellen
NPV = €−4 298,58
Antwoord
NPV = €−4 298,58
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 11,82 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
6 500·1,12 = 7 865,00
11 000·1,11 = 12 100,00
8 000·1,10 = 8 000,00
TV = 27 965,00
MIRR
MIRR = (27 965,00/20 000)1/3 − 1 = 11,82%
Antwoord
MIRR = 11,82%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 4,416 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Los numeriek op
P(4%) = €947,58, P(5%) = €898,49
YTM = 4,452%
Antwoord
YTM = 4,452%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,971 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·12% + 0,2857·7%·(1 − 0,3) = 9,971%
Antwoord
WACC = 9,971%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,394 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 500 000·€45,50 = €113 750 000
D = 20 000·€980 = €19 600 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 0,8·5% = 7%
Gewichten
V = €133 350 000, E/V = 0,853, D/V = 0,147
WACC
WACC = 0,853·7% + 0,147·4%·(1 − 0,28) = 6,394%
Antwoord
WACC = 6,394%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 4000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Gelijke totale kosten
30 000 + 20Q = 38 000 + 18Q
Los Q op
Q = (38 000 − 30 000)/(20 − 18) = 4 000
Antwoord
Q = 4 000 stuks
Onder dit volume is methode A goedkoper; daarboven is de geautomatiseerde methode B goedkoper.
10.Break-evenanalyse
Antwoord: MS = 20 %
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).