Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een creditcard rekent een nominale rente van 15 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 15%m = 12
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €15 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €15 0005,4% / 12N = 72
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €12 000, €9 000, €11 000, €14 000. De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €4 000, €7 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 7 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 5 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 3%) als het effectieve rendement 5,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 5y0 = 5,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 8%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 4%n = 3YTM = 8%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen die noteren op €28,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €33 600 000. Ze heeft net een dividend van €2,10 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 2% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €67 200 000 en kosten vóór belasting van 4%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Een product wordt verkocht voor €17 met variabele kosten van €15 per stuk. De vaste kosten zijn €10 000 per maand en over de winst wordt 25 % belasting geheven. Hoeveel stuks Q moeten er per maand worden verkocht om €3 000 na belasting te verdienen?
p = €17v = €15F = €10 000T = 25%winst na belasting = €3 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt 1 000 stuks per maand voor €19 per stuk, met variabele kosten van €4 per stuk en vaste kosten van €7 500 per maand. De variabele kosten stijgen met €5 per stuk en de prijs blijft gelijk. Hoeveel stuks Q moeten er nu per maand worden verkocht om dezelfde winst te houden?
Q = 1 000p = €19v = €4 → €9F = €7 500
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 16,08 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,15/12 = 0,0125
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,0125)12 − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%
Antwoord
EAR = 16,08%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 2594 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,0045, N = 72
A = 15 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−72) = €244,37
Totale rente
I = N·A − P = 72·244,4 − 15 000 = €2 594,42
Antwoord
I = €2 594,42
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 10612 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 12 000/1,05 = 11 428,57
CF2/(1 + 0,05)2 = 9 000/1,103 = 8 163,27
CF3/(1 + 0,05)3 = 11 000/1,158 = 9 502,21
CF4/(1 + 0,05)4 = 14 000/1,216 = 11 517,83
Optellen
NPV = €10 611,88
Antwoord
NPV = €10 611,88
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 8,882 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 612,24
NPV(10%) = −165,29
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 5 + 5·612,24/(612,24 − (−165,29)) = 8,937%
exact: NPV(8,882%) = 0 → IRR = 8,882%
Antwoord
IRR = 8,882%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 7,371 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 40/1,08 = 37,04, t·PV = 37,04
t = 2: 40/1,166 = 34,29, t·PV = 68,59
t = 3: 1040/1,26 = 825,59, t·PV = 2 476,76
Duration
P = 896,92
D = 2 582,38/896,92 = 2,879
Antwoord
D = 2,879 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,343 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·12% + 0,5714·7%·(1 − 0,2) = 8,343%
Antwoord
WACC = 8,343%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,156 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het eigen vermogen
D1 = 2,1·1,02 = €2,14
re = 2,142/28 + 0,02 = 9,65%
Marktwaarden
E = 4 000 000·€28,00 = €112 000 000
V = €179 200 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·9,65% + 0,375·4%·(1 − 0,25) = 7,156%
Antwoord
WACC = 7,156%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 7000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Benodigde winst vóór belasting
3 000/(1 − 0,25) = €4 000
Benodigde eenheden
Q = (10 000 + 4 000)/2 = 7 000
Antwoord
Q = 7 000 stuks
10.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 1500 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).