Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
Break-evenanalyse
Dekkingsbijdrage
CM = p − v
Break-evenafzet
QBE = FC/(p − v)
Doelwinst
Q = (FC + profit)/(p − v)
Winst
π = (p − v)·Q − FC
Veiligheidsmarge
(Q − QBE)/Q
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 4 jaar €20 000 nodig. Een rekening geeft 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €20 0006% / 12n = 4
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €150 0005,4% / 12N = 240
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €9 000, €5 000, €6 000, €7 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €35 500, €36 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 35 500CF2 = 36 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 7% naar 9%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 2%n = 4y1 = 7%y2 = 9%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 000 met een effectief rendement van 6% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 3,6 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten daalt.
P0 = €1 000y = 6%D = 3,6Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €35,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €10 700 000. Ze heeft net een dividend van €1,80 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 4% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €35 500 000 en kosten vóór belasting van 4%. Het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Een product wordt verkocht voor €30 per stuk met variabele kosten van €25 per stuk. De vaste kosten zijn €5 000 per maand. Hoeveel stuks Q moeten er per maand verkocht worden voor een winst van €5 000?
F = €5 000p = €30v = €25winst = €5 000
Q = stuks
10.Break-evenanalyseMoeilijk
Een bedrijf verkoopt twee producten. Product A wordt verkocht voor €8 met variabele kosten van €5; product B voor €28 met variabele kosten van €20. Ze worden verkocht in een vaste verhouding van 2 stuks A op elke 3 B. De vaste kosten zijn €24 000 per maand. Bereken het totale aantal stuks Q (A en B samen) dat nodig is om quitte te spelen.
pA = €8, vA = €5pB = €28, vB = €20A : B = 2 : 3F = €24 000
Q = stuks
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 15742 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·4 = 48
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,27 = €15 741,97
Antwoord
PV = €15 741,97
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 1023 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·20 = 240
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,3404
A = 150 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 023,38
Antwoord
A = €1 023,38
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 2057 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 9 000/1,09 = 8 256,88
CF2/(1 + 0,09)2 = 5 000/1,188 = 4 208,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 6 000/1,295 = 4 633,10
CF4/(1 + 0,09)4 = 7 000/1,412 = 4 958,98
Optellen
NPV = €2 057,36
Antwoord
NPV = €2 057,36
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 27,48 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 1 440,00
NPV(30%) = −1 390,53
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 3,6/1,06 = 3,396
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −3,396·(−0,01) = 3,396%
P ≈ 1000·(1 + 0,03396) = €1 033,96
Antwoord
P = €1 033,96
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,94 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·10% + 0,4286·7%·(1 − 0,258) = 7,94%
Antwoord
WACC = 7,94%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,037 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het eigen vermogen
D1 = 1,8·1,04 = €1,87
re = 1,872/35,5 + 0,04 = 9,273%
Marktwaarden
E = 1 000 000·€35,50 = €35 500 000
V = €71 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9,273% + 0,5·4%·(1 − 0,3) = 6,037%
Antwoord
WACC = 6,037%
9.Break-evenanalyse
Antwoord: Q = 2000 stuks
Kosten-volume-winst: elke verkochte eenheid levert een dekkingsbijdrage op: prijs min variabele kosten per stuk. Winst = Q·(p − v) − F, waarbij F de vaste kosten zijn. Bij het break-evenpunt is de winst nul, dus Q = F/(p − v).
Break-even met een verkoopmix: als producten in een vaste verhouding worden verkocht, gebruik je de gewogen gemiddelde dekkingsbijdrage: weeg de p − v van elk product naar zijn aandeel in het aantal stuks. Break-evenaantal = F/(gewogen dekkingsbijdrage), daarna weer verdeeld volgens de mixverhouding.