Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat betekent het dat een probleem een optimale deelstructuur heeft?

  1. AEen optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
  2. BElk deelprobleem heeft dezelfde grootte
  3. CHet probleem heeft precies één optimale oplossing, die alle deelproblemen delen
  4. DHet probleem kan in constante tijd worden opgelost
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe detecteert het algoritme van Bellman-Ford een cykel met negatief gewicht die vanuit de bron bereikbaar is?

  1. AHet controleert of er een kant met negatief gewicht is
  2. BHet telt de cykels met diepte-eerst zoeken
  3. CNa V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
  4. DHet voert het algoritme van Dijkstra twee keer uit en vergelijkt de twee afstandsresultaten
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe werkt extract-min in een binaire min-heap?

  1. AVerplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
  2. BVerwijder het laatste element van de array
  3. CZoek in alle bladeren naar het nieuwe minimum
  4. DVerwijder de wortel en schuif alle elementen één plaats naar links
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe lang duurt het zoeken naar een willekeurige sleutel in een binaire min-heap van n elementen?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1951220187315ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 5; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 5
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen

Waarom dit het antwoord is

Een optimale deelstructuur is nodig om zowel gulzige algoritmen als dynamisch programmeren correcte antwoorden te laten geven.

Antwoord

A · Een optimale oplossing kan worden opgebouwd uit optimale oplossingen van de deelproblemen
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd

Waarom dit het antwoord is

Alle echte kortste afstanden worden binnen V − 1 rondes gevonden; als een kant dan nog verbeterd kan worden, moet er een negatieve cykel bestaan.

Antwoord

C · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
3.Datastructuren

Antwoord: A · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)

Waarom dit het antwoord is

Het laatste element vult het gat in de wortel en wordt verwisseld met zijn kleinste kind tot de heap-eigenschap geldt, wat O(log n) kost.

Antwoord

A · Verplaats het laatste element naar de wortel en laat het omlaag zakken (sift down)
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Een heap geeft geen regel voor welke subboom een sleutel bevat, dus in het slechtste geval moeten alle knopen worden gecontroleerd; alleen het minimum is snel te vinden.

Antwoord

D · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

A, C, D, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: kant BE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. EF (3)
2. AC (5)
3. DE (7)
4. BC (12)
5. BE (15)

kantnummer 5

BE

Antwoord

kant BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms