Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk algoritme vindt de kortste paden vanuit één bron in een graaf met niet-negatieve kantgewichten?

  1. AHet algoritme van Kruskal
  2. BBellman-Ford is in alle gevallen vereist
  3. CHet algoritme van Dijkstra
  4. DDiepte-eerst zoeken (DFS)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Van welk van deze vervulbaarheidsproblemen is bekend dat het in polynomiale tijd oplosbaar is?

  1. A3-SAT, waarbij elke clausule precies drie literalen heeft
  2. B2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
  3. CAlgemene SAT op formules in conjunctieve normaalvorm
  4. DCircuitvervulbaarheid
3.DatastructurenGemiddeld

Welke balansvoorwaarde handhaaft een AVL-boom in elke knoop?

  1. AAlle bladeren liggen op precies dezelfde diepte
  2. BDe hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
  3. CBeide subbomen van elke knoop bevatten precies hetzelfde aantal knopen
  4. DElke knoop is rood of zwart gekleurd
4.DatastructurenMoeilijk

Door het invoegen van een sleutel in een AVL-boom wordt de linkersubboom van een knoop te hoog, en de nieuwe sleutel kwam in de linkersubboom van zijn linkerkind (left-left-geval). Welke correctie wordt toegepast?

  1. AEen enkele linksrotatie bij de ongebalanceerde knoop
  2. BEen enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
  3. CEen linksrotatie bij het kind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
  4. DHet opnieuw kleuren van de knoop en zijn kind
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
132111565414ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Het algoritme van Dijkstra

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Dijkstra werkt met niet-negatieve gewichten; Bellman-Ford kan negatieve gewichten aan; Kruskal bouwt minimaal opspannende bomen.

Antwoord

C · Het algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft

Waarom dit het antwoord is

2-SAT zit in P (lineaire tijd via sterk samenhangende componenten), terwijl 3-SAT NP-volledig is.

Antwoord

B · 2-SAT, waarbij elke clausule hoogstens twee literalen heeft
3.Datastructuren

Antwoord: B · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1

Waarom dit het antwoord is

De balansfactor (hoogte links − hoogte rechts) moet −1, 0 of 1 zijn; rotaties herstellen die na invoegen en verwijderen.

Antwoord

B · De hoogten van de linker- en rechtersubboom verschillen hoogstens 1
4.Datastructuren

Antwoord: B · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop

Waarom dit het antwoord is

In het left-left-geval tilt één rechtsrotatie het linkerkind omhoog en herstelt de balans; zigzaggevallen vereisen een dubbele rotatie.

Antwoord

B · Een enkele rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Oneven hoekpunten

C, D, E, G → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 12

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 13, C: 2
C (2): E: 8
E (8): F: 12
F (12): D: 17
B (13)
D (17)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 12

Antwoord

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms