Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke definitie van de klasse NP is juist?

  1. AProblemen die geen enkel algoritme kan oplossen
  2. BBeslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
  3. CProblemen die niet polynomiaal zijn
  4. DProblemen die niet in polynomiale tijd kunnen worden opgelost
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het zoeken naar een sleutel in een gebalanceerde binaire zoekboom?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn de tijd- en extra geheugenkosten van het ter plaatse omkeren van een enkelvoudig gekoppelde lijst?

  1. AO(1) tijd en O(1) extra geheugen
  2. BO(n) tijd en O(1) extra geheugen
  3. CO(n log n) tijd en O(1) extra geheugen
  4. DO(n) tijd en O(n) extra geheugen
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
927171815192014ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(2ⁿ)

Waarom dit het antwoord is

Het aantal aanroepen verdubbelt per niveau en er zijn n niveaus, dus het totaal is ongeveer 2ⁿ, zoals bij de Torens van Hanoi.

Antwoord

C · O(2ⁿ)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd

Waarom dit het antwoord is

Bij een NP-probleem kan een voorgestelde oplossing (certificaat) snel worden gecontroleerd, bijvoorbeeld verifiëren dat een gegeven toekenning een booleaanse formule vervult.

Antwoord

B · Beslissingsproblemen waarvan ja-antwoorden met een certificaat in polynomiale tijd kunnen worden geverifieerd
3.Datastructuren

Antwoord: D · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Een gebalanceerde boom heeft een hoogte van ongeveer log₂ n, dus een zoekactie volgt één pad van de wortel naar een blad.

Antwoord

D · O(log n)
4.Datastructuren

Antwoord: B · O(n) tijd en O(1) extra geheugen

Waarom dit het antwoord is

Met drie pointers (vorige, huidige, volgende) kun je elke koppeling in één doorgang omkeren zonder nieuwe knopen te reserveren.

Antwoord

B · O(n) tijd en O(1) extra geheugen
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

C, D → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 57

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AC (2): nemen
BC (7): nemen
AB (9): overslaan, sluit een cykel
BE (14): nemen
DE (15): nemen
BD (17): overslaan, sluit een cykel
CE (18): overslaan, sluit een cykel
DF (19): nemen

Totaal gewicht

W = 2 + 7 + 14 + 15 + 19 = 57

Antwoord

W = 57

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms