Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke uitspraak over een recursieve functie zonder bereikbaar basisgeval is juist?

  1. AZe geeft automatisch 0 terug
  2. BZe loopt in O(1) tijd
  3. CZe blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
  4. DDe compiler maakt er altijd een lus van die veilig eindigt
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe detecteert het algoritme van Bellman-Ford een cykel met negatief gewicht die vanuit de bron bereikbaar is?

  1. ANa V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
  2. BHet controleert of er een kant met negatief gewicht is
  3. CHet telt de cykels met diepte-eerst zoeken
  4. DHet voert het algoritme van Dijkstra twee keer uit en vergelijkt de twee afstandsresultaten
3.DatastructurenGemiddeld

AVL-bomen en rood-zwartbomen garanderen:

  1. ADat geen enkele knoop twee kinderen heeft
  2. BZoeken in constante tijd in elk geval
  3. CDat sleutels in invoegvolgorde worden opgeslagen
  4. DEen hoogte van O(log n) door herbalancering
4.DatastructurenMoeilijk

Een AVL-knoop is ongebalanceerd omdat de rechtersubboom van zijn linkerkind te hoog werd (left-right-geval). Welke correctie wordt toegepast?

  1. AEen rechtsrotatie bij het linkerkind, dan een linksrotatie bij de knoop
  2. BEen linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
  3. CEen enkele rechtsrotatie bij de knoop
  4. DEen enkele linksrotatie bij de knoop
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K7? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K7
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
117113147327ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt

Waarom dit het antwoord is

Zonder basisgeval stopt de recursie nooit; in de praktijk raakt het geheugen voor stackframes op en crasht het programma.

Antwoord

C · Ze blijft zichzelf aanroepen totdat de call stack overloopt
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd

Waarom dit het antwoord is

Alle echte kortste afstanden worden binnen V − 1 rondes gevonden; als een kant dan nog verbeterd kan worden, moet er een negatieve cykel bestaan.

Antwoord

A · Na V − 1 rondes controleert het of er nog een kant kan worden gerelaxeerd
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een hoogte van O(log n) door herbalancering

Waarom dit het antwoord is

Zelfbalancerende bomen houden de hoogte logaritmisch, zodat zoeken, invoegen en verwijderen in het slechtste geval O(log n) zijn.

Antwoord

D · Een hoogte van O(log n) door herbalancering
4.Datastructuren

Antwoord: B · Een linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop

Waarom dit het antwoord is

De eerste rotatie zet het left-right-geval om in een left-left-geval, dat een rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop daarna oplost.

Antwoord

B · Een linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 360

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwoord

H = 360
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 17

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 11, C: 7
C (7): E: 21
B (11): D: 14, E: 18
D (14): F: 17
F (17)
E (18)

Kortste pad

A → B → D → F
d(F) = 17

Antwoord

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms