Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welke gulzige regel geeft bij het activiteitenselectieprobleem altijd een maximaal aantal niet-overlappende activiteiten?

  1. AKies de activiteit die het vroegst begint
  2. BKies eerst de activiteit met de minste overlappingen en herhaal dat met de compatibele activiteiten
  3. CKies eerst de kortste activiteit
  4. DKies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Als je beide eindpunten van elke kant in een maximale koppeling neemt, krijg je een knoopoverdekking. Hoe goed is deze overdekking?

  1. AHoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
  2. BAltijd een minimale knoopoverdekking
  3. CVan onbekende kwaliteit vergeleken met het optimum
  4. DHoogstens log n keer het minimum
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt diepte-eerst zoeken (DFS) in de iteratieve versie?

  1. AEen queue
  2. BAlleen een hashtabel
  3. CEen stack
  4. DEen heap
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is onder simple uniform hashing de verwachte zoektijd in een hashtabel met chaining, n sleutels en m buckets?

  1. AO(n)
  2. BO(1 + α), waarbij α = n / m
  3. CO(log n)
  4. DO(m)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 6 hoekpunten en 8 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 6|E| = 8
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
12622131110102ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten

Waarom dit het antwoord is

Dat het kiezen van de vroegste eindtijd optimaal is, kan worden bewezen met een uitwisselingsargument; voor de andere regels bestaan tegenvoorbeelden.

Antwoord

D · Kies de activiteit die het vroegst eindigt en herhaal dat met de compatibele activiteiten
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking

Waarom dit het antwoord is

De koppelingskanten delen geen knopen, dus het optimum heeft minstens één knoop per kant nodig, terwijl deze methode er twee neemt: een 2-benadering.

Antwoord

A · Hoogstens twee keer zo groot als een minimale knoopoverdekking
3.Datastructuren

Antwoord: C · Een stack

Waarom dit het antwoord is

DFS gaat zo diep mogelijk en gebruikt daardoor vanzelf een stack (of de call stack van de recursie); BFS gebruikt een queue.

Antwoord

C · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: B · O(1 + α), waarbij α = n / m

Waarom dit het antwoord is

Het berekenen van de hash kost O(1) en de verwachte ketenlengte is α, dus α begrensd houden door de tabel te vergroten geeft een verwachte tijd van O(1).

Antwoord

B · O(1 + α), waarbij α = n / m
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

6 − 1 = 5

Te verwijderen kanten

k = 8 − 5 = 3

Antwoord

k = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 21

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 12, C: 6
C (6): B: 8, G: 16
B (8): D: 10
D (10): E: 23, F: 21
G (16): E: 18
E (18)
F (21)

Kortste pad

A → C → B → D → F
d(F) = 21

Antwoord

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms