Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het vermenigvuldigen van twee n × n-matrices met de standaard drievoudige lus?

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke twee dingen moeten worden aangetoond om te bewijzen dat een beslissingsprobleem X NP-volledig is?

  1. AX zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
  2. BX zit in P, en X reduceert tot SAT
  3. CX heeft geen polynomiaal algoritme, en X is beslisbaar
  4. DX reduceert tot een probleem in P, en X zit in NP
3.DatastructurenGemiddeld

Wat gebeurt er als een hashtabel rehasht nadat de load factor een drempel overschrijdt?

  1. AAlleen de botsende sleutels worden naar een nieuwe overloop-lijst aan het eind van de tabel verplaatst
  2. BDe bestaande sleutels worden ter plaatse gesorteerd
  3. CDe oudste sleutels worden verwijderd om ruimte te maken
  4. DEr wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom wordt verwijderen in een hashtabel met open adressering vaak gedaan met een "tombstone"-markering?

  1. AHet maakt de tabel gesorteerd
  2. BTombstones versnellen het hashen
  3. CVerwijderde sleutels moeten om veiligheidsredenen voor altijd bewaard blijven, dus plekken kunnen nooit hergebruikt worden
  4. DHet leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 4, 4 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
3842014191816ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 3
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant DF
  8. 8kant EF

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n³)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n² elementen en elk heeft n vermenigvuldigingen nodig, wat n³ bewerkingen geeft.

Antwoord

A · O(n³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X

Waarom dit het antwoord is

Lidmaatschap van NP laat zien dat X niet moeilijker is dan NP; de reductie vanuit een bekend NP-volledig probleem laat zien dat X minstens zo moeilijk is als heel NP.

Antwoord

A · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
3.Datastructuren

Antwoord: D · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd

Waarom dit het antwoord is

Omdat de index modulo de tabelgrootte wordt berekend, moeten alle sleutels opnieuw in de nieuwe, grotere tabel worden gehasht; bij verdubbelen blijft dit geamortiseerd O(1).

Antwoord

D · Er wordt een grotere tabel gereserveerd en elke sleutel wordt opnieuw ingevoegd
4.Datastructuren

Antwoord: D · Het leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken

Waarom dit het antwoord is

Als een verwijderde plek leeg zou worden, kunnen latere zoekacties te vroeg stoppen en sleutels missen die verderop in de probeerketen zijn geplaatst.

Antwoord

D · Het leegmaken van de plek kan de probeerreeks voor andere sleutels onderbreken
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 20

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 34 = 2(L + 8) − 2
L = 20

Antwoord

L = 20

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant CE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. AB (3)
2. BC (4)
3. CE (14)
4. EF (16)
5. DF (18)

kantnummer 3

CE

Antwoord

kant CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms