Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het algoritme van Bellman-Ford op een graaf met V knopen en E kanten?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(E log V)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat zijn de tijd- en ruimtekosten van het berekenen van het n-de Fibonaccigetal met een lus die alleen de laatste twee waarden bewaart?

  1. AO(2ⁿ) tijd en O(1) ruimte
  2. BO(n) tijd en O(n) ruimte
  3. CO(n) tijd en O(1) ruimte
  4. DO(log n) tijd en O(n) ruimte
3.DatastructurenGemiddeld

Wat is het doel van een sentinelknoop (dummyknoop) in een gekoppelde lijst?

  1. AVoorkomen dat de lijst groeit voorbij een vast maximumaantal knopen
  2. BHet aantal elementen opslaan
  3. CDe lijst gesorteerd maken
  4. DDe code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
4.DatastructurenMoeilijk

De tijdcomplexiteit van decrease-key in een binaire heap (als de positie van het element bekend is) is:

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
2394732211ABCDEF

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(D) van het kortste pad van A naar D in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: D
d(D) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(V × E)

Waarom dit het antwoord is

Elk van de V − 1 rondes relaxeert alle E kanten, wat O(VE) geeft; in ruil daarvoor kan het negatieve kantgewichten aan.

Antwoord

B · O(V × E)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n) tijd en O(1) ruimte

Waarom dit het antwoord is

Elke stap heeft alleen de twee vorige waarden nodig, dus de tabel van de bottom-upmethode kan door twee variabelen worden vervangen.

Antwoord

C · O(n) tijd en O(1) ruimte
3.Datastructuren

Antwoord: D · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen

Waarom dit het antwoord is

Met een sentinel heeft elke echte knoop een voorganger, dus invoegen of verwijderen aan de kop vraagt geen speciale behandeling.

Antwoord

D · De code vereenvoudigen door speciale gevallen aan kop of staart weg te nemen
4.Datastructuren

Antwoord: D · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Na het verlagen van de sleutel schuift het element hoogstens de hoogte van de heap omhoog (sift-up). Fibonacci-heaps halen decrease-key in geamortiseerd O(1).

Antwoord

D · O(log n)
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: d(D) = 6

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 2, C: 3
B (2): D: 6, E: 13
C (3): E: 10
D (6): E: 9, F: 8
F (8)
E (9)

Kortste pad

A → B → D
d(D) = 6

Antwoord

d(D) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms