Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Waarom wordt het grondtal van een logaritme in grote-O-notatie meestal weggelaten, zoals in O(log n)?

  1. AHet grondtal doet er alleen toe voor kleine n
  2. BAlle logaritmen in de informatica hebben grondtal 10, dus het is impliciet
  3. CLogaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
  4. DLogaritmen worden altijd afgerond op gehele getallen
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom geeft binair zoeken op een enkelvoudig gelinkte lijst geen O(log n) tijd?

  1. AHet middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is
  2. BVergelijkingen op knopen van een gelinkte lijst zijn trager
  3. CBinair zoeken heeft minstens twee keer zoveel geheugen nodig
  4. DGelinkte lijsten kunnen niet worden gesorteerd
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AEén gesorteerde array van knopen
  2. BAdjacency list
  3. CEen binaire heap van kanten
  4. DAdjacency matrix
4.DatastructurenMoeilijk

Wat doet een splay tree na elke toegang?

  1. ARoteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
  2. BBouwt de hele boom gebalanceerd opnieuw op
  3. CKleurt de knopen op het zoekpad opnieuw
  4. DVerplaatst de benaderde knoop naar een blad
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
123201994618151385ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor

Waarom dit het antwoord is

Een ander grondtal vermenigvuldigt de logaritme met een constante, en grote O negeert constante factoren.

Antwoord

C · Logaritmen met verschillende grondtallen verschillen alleen een constante factor
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Het middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is

Waarom dit het antwoord is

Binair zoeken heeft O(1)-toegang tot het midden nodig; in een gelinkte lijst kost het lopen daarheen lineaire tijd, dus het totaal is O(n).

Antwoord

A · Het middelste element bereiken kost O(n) stappen, omdat er geen directe toegang via een index is
3.Datastructuren

Antwoord: B · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

B · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: A · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel

Waarom dit het antwoord is

Splaying brengt de benaderde knoop via rotaties naar de wortel; één bewerking kan O(n) kosten, maar de geamortiseerde kosten zijn O(log n).

Antwoord

A · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

A, B → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 39

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AC (3): nemen
DE (4): nemen
GE (5): nemen
DF (6): nemen
GD (8): overslaan, sluit een cykel
CE (9): nemen
AB (12): nemen

Totaal gewicht

W = 3 + 4 + 5 + 6 + 9 + 12 = 39

Antwoord

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms