Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(n) heeft als oplossing:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke twee dingen moeten worden aangetoond om te bewijzen dat een beslissingsprobleem X NP-volledig is?

  1. AX heeft geen polynomiaal algoritme, en X is beslisbaar
  2. BX zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
  3. CX zit in P, en X reduceert tot SAT
  4. DX reduceert tot een probleem in P, en X zit in NP
3.DatastructurenGemiddeld

Een circulaire buffer (ring buffer) wordt vaak gebruikt om het volgende te implementeren:

  1. AEen hashfunctie
  2. BEen graafdoorloop
  3. CEen wachtrij met vaste grootte
  4. DEen binaire zoekboom
4.DatastructurenMoeilijk

Wat is onder simple uniform hashing de verwachte zoektijd in een hashtabel met chaining, n sleutels en m buckets?

  1. AO(1 + α), waarbij α = n / m
  2. BO(n)
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDEF

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij F? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema (a = 2, b = 2, f(n) = n) geldt T(n) = Θ(n log n).

Antwoord

A · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X

Waarom dit het antwoord is

Lidmaatschap van NP laat zien dat X niet moeilijker is dan NP; de reductie vanuit een bekend NP-volledig probleem laat zien dat X minstens zo moeilijk is als heel NP.

Antwoord

B · X zit in NP, en een bekend NP-volledig probleem reduceert in polynomiale tijd tot X
3.Datastructuren

Antwoord: C · Een wachtrij met vaste grootte

Waarom dit het antwoord is

Een ringbuffer gebruikt head- en tail-indices die rondlopen, wat enqueue en dequeue in O(1) oplevert met vast geheugen.

Antwoord

C · Een wachtrij met vaste grootte
4.Datastructuren

Antwoord: A · O(1 + α), waarbij α = n / m

Waarom dit het antwoord is

Het berekenen van de hash kost O(1) en de verwachte ketenlengte is α, dus α begrensd houden door de tabel te vergroten geeft een verwachte tijd van O(1).

Antwoord

A · O(1 + α), waarbij α = n / m
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms