Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoe bouwt het algoritme van Prim een minimale opspannende boom?

  1. AHet sorteert alle kanten op gewicht en voegt elke kant toe, tenzij die een cykel in het bos zou vormen
  2. BHet verwijdert de duurste kant totdat er geen cykels meer zijn
  3. CHet laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
  4. DHet voert breedte-eerst zoeken uit en houdt de BFS-boom over
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom heeft elke zoekmethode op basis van vergelijkingen in een gesorteerde array in het slechtste geval Ω(log n) vergelijkingen nodig?

  1. AElk element moet minstens één keer worden vergeleken
  2. BEen beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
  3. CElke vergelijking kost logaritmische tijd
  4. DBinair zoeken is het enige mogelijke algoritme en heeft log₂ n vergelijkingen nodig
3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel knopen heeft een perfecte binaire boom met hoogte h, waarbij de hoogte in kanten wordt geteld?

  1. A2h + 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h+1 − 1
4.DatastructurenMoeilijk

Een object wordt als sleutel in een hashmap opgeslagen, waarna een veld dat de hashfunctie gebruikt wordt gewijzigd. Wat is het waarschijnlijke gevolg?

  1. ADe map verplaatst de sleutel automatisch naar zijn nieuwe bucket
  2. BHet object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
  3. CDe map geeft een fout op het moment dat het veld verandert
  4. DEr verandert niets, omdat de hash van een sleutel maar één keer wordt berekend wanneer het programma start
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K6? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K6
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
1811556101112ABCDEF

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 4; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 4
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant BD
  5. 5kant CE
  6. 6kant DE
  7. 7kant EF
  8. 8kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Prim, met een prioriteitswachtrij van kruisende kanten, loopt met een binaire heap in O(E log V).

Antwoord

C · Het laat één boom groeien vanaf een startknoop en voegt de goedkoopste kant toe die de boom verlaat
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben

Waarom dit het antwoord is

Elke vergelijking halveert hoogstens de verzameling resterende mogelijkheden, dus om n posities te onderscheiden zijn minstens log₂ n vergelijkingen nodig.

Antwoord

B · Een beslisboom met n mogelijke uitkomsten moet een diepte van minstens log₂ n hebben
3.Datastructuren

Antwoord: D · 2h+1 − 1

Waarom dit het antwoord is

Optellen van 1 + 2 + 4 + ... + 2h geeft 2h+1 − 1; hoogte 2 geeft bijvoorbeeld 7 knopen.

Antwoord

D · 2h+1 − 1
4.Datastructuren

Antwoord: B · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat

Waarom dit het antwoord is

De plaats van de sleutel werd gekozen op basis van zijn oude hash; met een nieuwe hash zoeken lookups in de verkeerde bucket, dus sleutels moeten onveranderlijk zijn.

Antwoord

B · Het object opzoeken kan mislukken, omdat het in de bucket voor zijn oude hash staat
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 60

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Antwoord

H = 60
6.Grafentheorie

Antwoord: kant DE

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. AC (1)
2. BD (5)
3. CE (6)
4. DE (10)
5. EF (11)

kantnummer 4

DE

Antwoord

kant DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms