Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Welk algoritme vindt de kortste paden vanuit één bron in een graaf met niet-negatieve kantgewichten?

  1. ADiepte-eerst zoeken (DFS)
  2. BBellman-Ford is in alle gevallen vereist
  3. CHet algoritme van Kruskal
  4. DHet algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over de kleine-o-notatie is juist?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), maar n is niet o(n)
  3. Cn = o(n), omdat elke functie kleine o van zichzelf is
  4. D2n = o(n), omdat 2n langzaam groeit
3.DatastructurenGemiddeld

Een wegennet heeft 100,000 kruispunten, die elk met ongeveer 4 andere verbonden zijn. Welke representatie is het meest geschikt?

  1. AEén gesorteerde array van knopen
  2. BAdjacency matrix
  3. CEen binaire heap van kanten
  4. DAdjacency list
4.DatastructurenMoeilijk

Je wilt voor elk element van een array het volgende grotere element rechts ervan vinden, in totaal O(n) tijd. Welke structuur helpt?

  1. AEen queue die elk paar elementen bevat
  2. BEen hashtabel van alle elementen
  3. CEen binaire zoekboom die voor elk element opnieuw wordt opgebouwd
  4. DEen stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 4 hoekpunten van graad 4, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 34 × deg 4
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
142041312652ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Het algoritme van Dijkstra

Waarom dit het antwoord is

Het algoritme van Dijkstra werkt met niet-negatieve gewichten; Bellman-Ford kan negatieve gewichten aan; Kruskal bouwt minimaal opspannende bomen.

Antwoord

D · Het algoritme van Dijkstra
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · n = o(n²), maar n is niet o(n)

Waarom dit het antwoord is

f = o(g) betekent dat f(n) / g(n) naar 0 gaat; n / n² gaat naar 0, maar n / n = 1 niet.

Antwoord

B · n = o(n²), maar n is niet o(n)
3.Datastructuren

Antwoord: D · Adjacency list

Waarom dit het antwoord is

Een matrix zou 1010 cellen nodig hebben, bijna allemaal leeg; een adjacency list slaat alleen de ongeveer 400,000 kantitems op.

Antwoord

D · Adjacency list
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten

Waarom dit het antwoord is

Loop van links naar rechts, pop elk element op de stack dat kleiner is dan het huidige (het huidige element is hun antwoord) en push dan het huidige; elk element wordt hoogstens twee keer verplaatst.

Antwoord

D · Een stack die elementen bewaart die op hun antwoord wachten
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 13

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 25 = 2(L + 7) − 2
L = 13

Antwoord

L = 13

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 25

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BD (1): nemen
BE (2): nemen
CE (3): nemen
BC (4): overslaan, sluit een cykel
EF (5): nemen
DF (6): overslaan, sluit een cykel
DE (12): overslaan, sluit een cykel
AB (14): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 3 + 5 + 14 = 25

Antwoord

W = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms