Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de looptijd van LSD-radix sort op n gehele getallen met d cijfers in grondtal k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(dn log k)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe verhouden n! en 2ⁿ zich voor grote n?

  1. A2ⁿ groeit sneller dan n!
  2. BZe groeien even snel
  3. Cn! groeit sneller dan 2ⁿ
  4. Dn! is O(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom kan een binaire heap zonder pointers in een array worden opgeslagen?

  1. AArrays houden sleutels automatisch gesorteerd, dus er zijn geen pointers nodig
  2. BHeaps bevatten nooit meer dan 100 elementen
  3. CHet is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
  4. DAlle sleutels in een heap zijn gelijk
4.DatastructurenMoeilijk

Waarom gebruiken databases voor indexen vaak B+-bomen in plaats van gewone B-bomen?

  1. AB+-bomen hoeven niet gebalanceerd te zijn
  2. BB+-bomen slaan data alleen in de wortel op
  3. CB+-bomen gebruiken binaire interne knopen, wat het aantal schijflezingen vermindert
  4. DAlle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
5.GrafentheorieGemiddeld

Hoeveel verschillende Hamiltoncircuits H heeft de volledige graaf K4? Circuits die alleen verschillen in het beginpunt of de richting tellen als hetzelfde.

K4
H =
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel gesloten wandelingen van lengte 2 beginnen en eindigen bij C? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(d(n + k))

Waarom dit het antwoord is

Elk van de d doorgangen is een counting sort die O(n + k) kost, dus voor vaste d en k is het totaal lineair in n.

Antwoord

C · O(d(n + k))
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · n! groeit sneller dan 2ⁿ

Waarom dit het antwoord is

Voor n ≥ 4 is n! groter dan 2ⁿ, en de verhouding groeit onbegrensd, omdat elke extra factor van n! groter is dan 2.

Antwoord

C · n! groeit sneller dan 2ⁿ
3.Datastructuren

Antwoord: C · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules

Waarom dit het antwoord is

Compleetheid betekent dat er geen gaten zijn, dus de kinderen van index i staan altijd op 2i + 1 en 2i + 2.

Antwoord

C · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
4.Datastructuren

Antwoord: D · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt

Waarom dit het antwoord is

In een B+-boom sturen interne knopen alleen de zoektocht en zijn de bladeren in sleutelvolgorde gekoppeld, zodat een bereikquery de eerste sleutel vindt en dan langs de bladeren loopt.

Antwoord

D · Alle records staan in gekoppelde bladeren, wat bereikscans efficiënt maakt
5.Grafentheorie

Antwoord: H = 3

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Tellen

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Antwoord

H = 3
6.Grafentheorie

Antwoord: N = 2

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Antwoord

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms