Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Een gretig (greedy) algoritme:

  1. AProbeert elke mogelijke oplossing
  2. BGebruikt alleen recursie
  3. CMaakt bij elke stap de lokaal beste keuze
  4. DGeeft altijd de optimale oplossing
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke techniek geeft quicksort een verwachte looptijd van O(n log n) voor elke invoer?

  1. ADe invoer sorteren voordat je quicksort uitvoert
  2. BAlleen recursie aan de linkerkant gebruiken
  3. CDe pivot uniform willekeurig kiezen
  4. DAltijd het eerste element kiezen
3.DatastructurenGemiddeld

Hoe lang duurt het om met een adjacency matrix te controleren of de kant (u, v) bestaat?

  1. AO(V)
  2. BO(E)
  3. CO(1)
  4. DO(log V)
4.DatastructurenMoeilijk

Wat zijn, zonder union by rank of path compression, de kosten in het slechtste geval van één find in een union-findstructuur met n elementen?

  1. AO(n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 4 hoekpunten van graad 4, 4 hoekpunten van graad 5, 4 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

4 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
1262663814ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(G) van het kortste pad van A naar G in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: G
d(G) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Maakt bij elke stap de lokaal beste keuze

Waarom dit het antwoord is

Gretige algoritmen zijn snel en optimaal voor sommige problemen (bijv. Dijkstra, Huffman-codering), maar niet in het algemeen (bijv. wisselgeld teruggeven bij sommige muntsystemen).

Antwoord

C · Maakt bij elke stap de lokaal beste keuze
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · De pivot uniform willekeurig kiezen

Waarom dit het antwoord is

Met een willekeurige pivot is de verwachte looptijd O(n log n) voor elke invoer; slechte gevallen bestaan nog steeds, maar zijn zeer onwaarschijnlijk.

Antwoord

C · De pivot uniform willekeurig kiezen
3.Datastructuren

Antwoord: C · O(1)

Waarom dit het antwoord is

Het matrixelement in rij u, kolom v vertelt je meteen of de kant bestaat; bij een adjacency list moet je mogelijk de buren van u doorzoeken.

Antwoord

C · O(1)
4.Datastructuren

Antwoord: A · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Naïeve unions kunnen bomen tot een lange keten koppelen, zodat find n − 1 ouderpointers kan moeten volgen; de twee heuristieken brengen het bijna op constante tijd.

Antwoord

A · O(n)
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 22

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Antwoord

L = 22

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: d(G) = 4

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 1, C: 2
B (1): G: 4
C (2): E: 4
E (4): F: 10
G (4): D: 5
D (5)
F (10)

Kortste pad

A → B → G
d(G) = 4

Antwoord

d(G) = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms