Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Je sorteert een array van n elementen één keer en beantwoordt daarna k lidmaatschapsvragen met binair zoeken. Wat zijn de totale kosten?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n + k)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Topologisch sorteren is alleen mogelijk voor:

  1. AVolledige grafen
  2. BOngerichte grafen
  3. CGerichte acyclische grafen (DAG)
  4. DGrafen met negatieve gewichten
3.DatastructurenGemiddeld

Hoeveel knopen heeft een perfecte binaire boom met hoogte h, waarbij de hoogte in kanten wordt geteld?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h + 1
4.DatastructurenMoeilijk

Welke garantie geven de regels van een rood-zwartboom over de hoogte van een boom met n sleutels?

  1. ADe hoogte is hoogstens log2 n + 1
  2. BDe hoogte is hoogstens n / 2
  3. CDe hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)
  4. DDe hoogte is precies log2 n
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
1817201667109ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n log n + k log n)

Waarom dit het antwoord is

Sorteren kost O(n log n) en elke vraag O(log n); dat is beter dan k lineaire zoektochten (O(nk)) als k groot is.

Antwoord

B · O(n log n + k log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Gerichte acyclische grafen (DAG)

Waarom dit het antwoord is

Een topologische volgorde bestaat dan en slechts dan als de gerichte graaf geen cycli heeft; die is te vinden in O(V + E) met DFS of het algoritme van Kahn.

Antwoord

C · Gerichte acyclische grafen (DAG)
3.Datastructuren

Antwoord: A · 2h+1 − 1

Waarom dit het antwoord is

Optellen van 1 + 2 + 4 + ... + 2h geeft 2h+1 − 1; hoogte 2 geeft bijvoorbeeld 7 knopen.

Antwoord

A · 2h+1 − 1
4.Datastructuren

Antwoord: C · De hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)

Waarom dit het antwoord is

Elk pad heeft hetzelfde aantal zwarte knopen en rode knopen kunnen niet naast elkaar liggen, dus het langste pad is hoogstens twee keer het kortste, wat hoogte O(log n) geeft.

Antwoord

C · De hoogte is hoogstens 2 log2(n + 1)
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Oneven hoekpunten

A, B, C, F → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 55

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

DE (6): nemen
DF (7): nemen
BE (9): nemen
EF (10): overslaan, sluit een cykel
CE (16): nemen
AC (17): nemen

Totaal gewicht

W = 6 + 7 + 9 + 16 + 17 = 55

Antwoord

W = 55

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms