Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Dynamisch programmeren is nuttig wanneer een probleem het volgende heeft:

  1. AEén enkele lus
  2. BHelemaal geen deelproblemen, dus het kan in één stap worden opgelost
  3. CAlleen willekeurige invoer
  4. DOverlappende deelproblemen en optimale substructuur
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Welke uitspraak over het selecteren van het k-de kleinste element van een ongesorteerde array is juist?

  1. ASelectie is alleen mogelijk in O(n²)
  2. BSelectie heeft altijd Ω(n log n) nodig, omdat er gesorteerd moet worden
  3. CQuickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
  4. DQuickselect loopt in het slechtste geval in O(log n), omdat het maar aan één kant van de pivot recursief verdergaat
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur wordt gebruikt om te controleren of de haakjes in "{[()]}" in balans zijn?

  1. AEen hashtabel
  2. BEen stack
  3. CEen queue
  4. DEen binaire zoekboom
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe verbetert een radix tree (gecomprimeerde trie) een gewone trie?

  1. AHij sorteert de kinderen van elke knoop op frequentie
  2. BHij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
  3. CHij bewaart alleen de eerste letter van elk woord
  4. DHij slaat elk woord op in een hashtabel bij de wortel in plaats van in aparte knopen
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFGEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
44211422313ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Overlappende deelproblemen en optimale substructuur

Waarom dit het antwoord is

Het opslaan van resultaten van overlappende deelproblemen (memoisatie of tabulatie) voorkomt herhaald werk en maakt van exponentiële algoritmen polynomiale.

Antwoord

D · Overlappende deelproblemen en optimale substructuur
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval

Waarom dit het antwoord is

Het verwachte werk van quickselect is n + n/2 + n/4 + ... = O(n) met willekeurige pivots; door de pivot te kiezen als mediaan van medianen wordt het slechtste geval lineair.

Antwoord

C · Quickselect loopt verwacht in O(n), en median-of-medians garandeert O(n) in het slechtste geval
3.Datastructuren

Antwoord: B · Een stack

Waarom dit het antwoord is

Push elk openingshaakje en pop bij een sluithaakje; dat moet passen bij het gepopte haakje en de stack moet aan het eind leeg zijn.

Antwoord

B · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: B · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label

Waarom dit het antwoord is

Het samenvoegen van paden zonder vertakking vermindert het aantal knopen en het geheugengebruik, terwijl zoeken op prefix mogelijk blijft.

Antwoord

B · Hij voegt ketens van knopen met één kind samen tot één kant met een string als label
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulercircuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Oneven hoekpunten

0
Eulercircuit

Antwoord

Eulercircuit
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 10

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): B: 4, C: 4
B (4): D: 15
C (4): E: 8
E (8): F: 10, G: 21
F (10): D: 12
D (12): G: 15
G (15)

Kortste pad

A → C → E → F
d(F) = 10

Antwoord

d(F) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms