Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de tijdcomplexiteit van het vermenigvuldigen van twee n × n-matrices met de standaard drievoudige lus?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is het verschil tussen een onbeslisbaar en een onhandelbaar probleem?

  1. AEen onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
  2. BOnbeslisbare problemen zitten in NP, terwijl onhandelbare problemen in P zitten
  3. COnhandelbare problemen kunnen door geen enkel algoritme worden opgelost, terwijl onbeslisbare alleen exponentiële tijd nodig hebben
  4. DBeide betekenen dat het probleem helemaal geen algoritme heeft
3.DatastructurenGemiddeld

Een binaire boom heeft wortel 1 met linkerkind 2 en rechterkind 3; knoop 2 heeft kinderen 4 (links) en 5 (rechts). Wat is de postorder-doorloop?

  1. A5 4 3 2 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe kun je met O(1) extra geheugen detecteren of een enkelvoudig gekoppelde lijst een cykel bevat?

  1. AVerplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
  2. BSla elke bezochte knoop op in een hash-set
  3. CSorteer de lijst en zoek naar duplicaten
  4. DTel de knopen tot het aantal het lengteveld van de lijst overschrijdt
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 3 hoekpunten van graad 4, 2 hoekpunten van graad 5, 2 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
1071512914810ABCDEF

Het algoritme van Dijkstra start bij A. Klik op het hoekpunt dat in ronde 3 wordt vastgelegd (definitief gemaakt); A zelf is ronde 1.

start: Aronde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n³)

Waarom dit het antwoord is

Er zijn n² elementen en elk heeft n vermenigvuldigingen nodig, wat n³ bewerkingen geeft.

Antwoord

C · O(n³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag

Waarom dit het antwoord is

Voor het stopprobleem bestaat helemaal geen algoritme; een NP-moeilijk probleem zoals TSP kan met brute force worden opgelost, alleen niet in een bekende polynomiale tijd.

Antwoord

A · Een onbeslisbaar probleem heeft geen algoritme voor alle invoer; een onhandelbaar probleem wel, maar dat is te traag
3.Datastructuren

Antwoord: D · 4 5 2 3 1

Waarom dit het antwoord is

Postorder verwerkt 4 en 5 vóór 2, dan 3, en ten slotte de wortel 1.

Antwoord

D · 4 5 2 3 1
4.Datastructuren

Antwoord: A · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

Waarom dit het antwoord is

Als er een cykel is, haalt bij het algoritme van Floyd de snelle pointer de langzame uiteindelijk in; anders bereikt de snelle pointer null.

Antwoord

A · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 16

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 32 = 2(L + 9) − 2
L = 16

Antwoord

L = 16

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: B

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

1. A (0): B: 10, C: 7
2. C (7): E: 19
3. B (10): D: 25
4. E (19): F: 27
5. D (25)
6. F (27)

ronde 3

B

Antwoord

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms