Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Je sorteert een array van n elementen één keer en beantwoordt daarna k lidmaatschapsvragen met binair zoeken. Wat zijn de totale kosten?

  1. AO(nk)
  2. BO(n + k)
  3. CO(k n log n)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom is een opzoeking in een hashtabel gemiddeld O(1) maar in het slechtste geval O(n)?

  1. AHashfuncties zijn traag
  2. BArrays hebben O(n) toegang
  3. CSleutels moeten eerst gesorteerd worden
  4. DVeel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.DatastructurenGemiddeld

In een binaire min-heap die in een array is opgeslagen (index begint bij 0), staan de kinderen van de knoop op index i op:

  1. A2i + 1 en 2i + 2
  2. Bi/2 en i/2 + 1
  3. C2i en 2i + 1
  4. Di + 1 en i + 2
4.DatastructurenMoeilijk

De tijdcomplexiteit van decrease-key in een binaire heap (als de positie van het element bekend is) is:

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 19 hoekpunten en 23 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 19|E| = 23
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
215813712133106ABCDEFG

Gebruik het algoritme van Dijkstra om de lengte d(F) van het kortste pad van A naar F in de gewogen graaf te vinden.

start: Aeinde: F
d(F) =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · O(n log n + k log n)

Waarom dit het antwoord is

Sorteren kost O(n log n) en elke vraag O(log n); dat is beter dan k lineaire zoektochten (O(nk)) als k groot is.

Antwoord

D · O(n log n + k log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen

Waarom dit het antwoord is

Met een goede hashfunctie en bezettingsgraad (load factor) blijven buckets gemiddeld kort; kwaadwillende of slechte hashing kan alle sleutels in één bucket stoppen.

Antwoord

D · Veel sleutels kunnen in dezelfde bucket botsen
3.Datastructuren

Antwoord: A · 2i + 1 en 2i + 2

Waarom dit het antwoord is

Bij arrays met indexering vanaf 0 staat het linkerkind op 2i + 1, het rechterkind op 2i + 2 en de ouder op ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwoord

A · 2i + 1 en 2i + 2
4.Datastructuren

Antwoord: A · O(log n)

Waarom dit het antwoord is

Na het verlagen van de sleutel schuift het element hoogstens de hoogte van de heap omhoog (sift-up). Fibonacci-heaps halen decrease-key in geamortiseerd O(1).

Antwoord

A · O(log n)
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 5

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

19 − 1 = 18

Te verwijderen kanten

k = 23 − 18 = 5

Antwoord

k = 5
6.Grafentheorie

Antwoord: d(F) = 13

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Dijkstra ronde voor ronde

Elke regel: het vastgelegde hoekpunt, zijn definitieve afstand en de buren waarvan de afstand verbetert.

A (0): C: 2
C (2): B: 17, E: 15, G: 5
G (5): D: 15, E: 11
E (11): F: 13
F (13): D: 14
D (14)
B (17)

Kortste pad

A → C → G → E → F
d(F) = 13

Antwoord

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms