Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Het stopprobleem (halting problem) laat zien dat:

  1. AElk programma uiteindelijk stopt
  2. BSommige programma's sneller draaien op snellere computers, dus stoppen hangt van de hardware af
  3. CLussen vermeden moeten worden
  4. DGeen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt
3.DatastructurenGemiddeld

Een hashtabel van grootte 7 gebruikt h(k) = k mod 7 en linear probing. Waar wordt 17 opgeslagen nadat 10 is ingevoegd?

  1. AIndex 3
  2. BIndex 4
  3. CIndex 0
  4. DIndex 6
4.DatastructurenMoeilijk

Met welke structuur bereken je het maximum van elk venster van grootte k in een array in totaal O(n)?

  1. AEen gesorteerde array die door verschuiven wordt bijgewerkt
  2. BEen enkelvoudig gekoppelde lijst van de elementen in het venster
  3. CEen min-heap die voor elk venster opnieuw wordt opgebouwd
  4. DEen deque met indices in afnemende volgorde van waarde
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEFEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
ABCDE

Hoeveel wandelingen van lengte 2 gaan van A naar D? Een wandeling mag hoekpunten en kanten herhalen. Noem het aantal N.

M = adjacentiematrixL = 2
N =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n²)

Waarom dit het antwoord is

Het werk telt op tot ongeveer n² / 2; dit is de recurrente betrekking van selection sort of van quicksort met de slechtste pivot.

Antwoord

A · O(n²)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt

Waarom dit het antwoord is

Turing toonde aan dat het stopprobleem onbeslisbaar is: aannemen dat er een beslisser bestaat, leidt tot een tegenspraak met een programma dat precies het tegenovergestelde doet.

Antwoord

D · Geen enkel algoritme voor elk programma en elke invoer kan beslissen of het stopt
3.Datastructuren

Antwoord: B · Index 4

Waarom dit het antwoord is

10 mod 7 = 3 en 17 mod 7 = 3; index 3 is bezet, dus linear probing probeert de volgende plaats, index 4.

Antwoord

B · Index 4
4.Datastructuren

Antwoord: D · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde

Waarom dit het antwoord is

De voorkant van de deque is altijd het maximum van het venster; elke index gaat één keer de deque in en één keer eruit, dus het werk is lineair.

Antwoord

D · Een deque met indices in afnemende volgorde van waarde
5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Oneven hoekpunten

D, E → 2
Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: N = 1

Graden: de graad van een hoekpunt is het aantal kanten dat erin samenkomt. Elke kant heeft twee uiteinden, dus de graden tellen op tot twee keer het aantal kanten: Σ deg(v) = 2|E| (het handenschudlemma). Het aantal hoekpunten met oneven graad is daarom even. Kn heeft n(n − 1)/2 kanten, een k-reguliere graaf op n hoekpunten heeft nk/2, en een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Adjacentiematrix

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeenschappelijke buren

(M²)AD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·1 = 1

Antwoord

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms