Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Hoeveel niveaus heeft de recursie van mergesort voor een array van n elementen?

  1. AOngeveer log₂ n
  2. BOngeveer √n
  3. COngeveer n
  4. DOngeveer n / 2
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Waarom kan het algoritme van Dijkstra verkeerde resultaten geven als sommige kantgewichten negatief zijn?

  1. ANegatieve getallen kunnen niet in een prioriteitswachtrij worden opgeslagen
  2. BHet raakt bij elke negatieve kant in een oneindige lus
  3. CEen knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
  4. DHet werkt alleen op ongerichte grafen
3.DatastructurenGemiddeld

Een knoop in een binaire zoekboom heeft een rechtersubboom. Waar staat zijn inorder-opvolger?

  1. ADe meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
  2. BAltijd zijn rechterkind
  3. CDe meest rechtse knoop van zijn linkersubboom
  4. DAltijd zijn ouder
4.DatastructurenMoeilijk

Aan welke eigenschap moet een rood-zwartboom voldoen?

  1. ARode knopen moeten rode kinderen hebben, dus rode knopen vormen altijd ononderbroken ketens tot de bladeren
  2. BDe wortel moet rood zijn
  3. CElk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
  4. DElke knoop moet rood zijn
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 3 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 4, 4 hoekpunten van graad 5, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

3 × deg 32 × deg 44 × deg 5
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
12781154199ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Ongeveer log₂ n

Waarom dit het antwoord is

Halveren van n tot 1 kost ongeveer log₂ n niveaus, en elk niveau doet O(n) samenvoegwerk, wat O(n log n) geeft.

Antwoord

A · Ongeveer log₂ n
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven

Waarom dit het antwoord is

De gulzige stap rekent op niet-negatieve gewichten, zodat uitgehaalde afstanden definitief zijn; Bellman-Ford wordt gebruikt als gewichten negatief kunnen zijn.

Antwoord

C · Een knoop is definitief zodra hij wordt uitgehaald, maar een latere negatieve kant kan hem nog een korter pad geven
3.Datastructuren

Antwoord: A · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom

Waarom dit het antwoord is

Alle grotere sleutels dicht bij de knoop staan in zijn rechtersubboom, en de kleinste daarvan is de meest linkse knoop daar.

Antwoord

A · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
4.Datastructuren

Antwoord: C · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen

Waarom dit het antwoord is

Rood-zwartregels: knopen zijn rood of zwart, de wortel is zwart, rode knopen hebben zwarte kinderen en alle paden hebben dezelfde zwarthoogte, waardoor de hoogte ≤ 2 log₂(n + 1) blijft.

Antwoord

C · Elk pad van een knoop naar zijn afstammende bladeren bevat evenveel zwarte knopen
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 21

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 37 = 2(L + 9) − 2
L = 21

Antwoord

L = 21

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 39

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BD (1): nemen
DE (4): nemen
AC (7): nemen
BC (8): nemen
BE (9): overslaan, sluit een cykel
AB (12): overslaan, sluit een cykel
CE (15): overslaan, sluit een cykel
DF (19): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 4 + 7 + 8 + 19 = 39

Antwoord

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms