Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

De recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(n) heeft als oplossing:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Een probleem is NP-volledig als het:

  1. AIn NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
  2. BOnmogelijk op te lossen is
  3. CBuiten NP valt maar moeilijker is dan alle NP-problemen, zoals het stopprobleem
  4. DIn polynomiale tijd oplosbaar is
3.DatastructurenGemiddeld

Welke datastructuur gebruikt diepte-eerst zoeken (DFS) in de iteratieve versie?

  1. AEen queue
  2. BAlleen een hashtabel
  3. CEen heap
  4. DEen stack
4.DatastructurenMoeilijk

Hoe kun je met O(1) extra geheugen detecteren of een enkelvoudig gekoppelde lijst een cykel bevat?

  1. AVerplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
  2. BTel de knopen tot het aantal het lengteveld van de lijst overschrijdt
  3. CSla elke bezochte knoop op in een hash-set
  4. DSorteer de lijst en zoek naar duplicaten
5.GrafentheorieGemiddeld

Een boom heeft 2 hoekpunten van graad 3, 2 hoekpunten van graad 2, en al zijn andere hoekpunten zijn bladeren (graad 1). Hoeveel bladeren L heeft hij?

2 × deg 32 × deg 2
L =
6.GrafentheorieMoeilijk
1565284121ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema (a = 2, b = 2, f(n) = n) geldt T(n) = Θ(n log n).

Antwoord

B · O(n log n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is

Waarom dit het antwoord is

NP-volledige problemen zijn de moeilijkste in NP; een polynomiaal algoritme voor één ervan zou er een opleveren voor heel NP.

Antwoord

A · In NP zit en elk NP-probleem er in polynomiale tijd naar te reduceren is
3.Datastructuren

Antwoord: D · Een stack

Waarom dit het antwoord is

DFS gaat zo diep mogelijk en gebruikt daardoor vanzelf een stack (of de call stack van de recursie); BFS gebruikt een queue.

Antwoord

D · Een stack
4.Datastructuren

Antwoord: A · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten

Waarom dit het antwoord is

Als er een cykel is, haalt bij het algoritme van Floyd de snelle pointer de langzame uiteindelijk in; anders bereikt de snelle pointer null.

Antwoord

A · Verplaats één pointer telkens één stap en een andere twee stappen en kijk of ze elkaar ontmoeten
5.Grafentheorie

Antwoord: L = 4

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Handenschudlemma voor een boom

L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4

Antwoord

L = 4

Snelle methode: L = 2 + Σ (d − 2) over de hoekpunten met graad d ≥ 3.

6.Grafentheorie

Antwoord: W = 27

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

BE (1): nemen
CE (2): nemen
DF (4): nemen
BD (5): nemen
BC (6): overslaan, sluit een cykel
DE (8): overslaan, sluit een cykel
EF (12): overslaan, sluit een cykel
AB (15): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 4 + 5 + 15 = 27

Antwoord

W = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms