Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat is de oplossing van de recurrente betrekking T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Wat is de tijdcomplexiteit van: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) doe O(1) werk?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom is het doorlopen van een array in de praktijk vaak veel sneller dan het doorlopen van een gekoppelde lijst van dezelfde lengte?

  1. AArray-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
  2. BGekoppelde lijsten slaan elementen altijd op schijf op
  3. CArrays gebruiken minder instructies om waarden te vergelijken
  4. DEen array doorlopen kost in totaal O(1), een gekoppelde lijst doorlopen O(n)
4.DatastructurenMoeilijk

Wat doet een splay tree na elke toegang?

  1. AVerplaatst de benaderde knoop naar een blad
  2. BKleurt de knopen op het zoekpad opnieuw
  3. CRoteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
  4. DBouwt de hele boom gebalanceerd opnieuw op
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 9 hoekpunten en 9 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 9|E| = 9
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
1161219572620ABCDEFG

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Volgens het mastertheorema domineert nlog₂ 2 = n het constante werk, dus T(n) = Θ(n), zoals bij het vinden van een maximum door in helften te splitsen.

Antwoord

B · O(n)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · O(n log n)

Waarom dit het antwoord is

Het totaal is n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, en het harmonische getal Hn is Θ(log n).

Antwoord

A · O(n log n)
3.Datastructuren

Antwoord: A · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten

Waarom dit het antwoord is

Aaneengesloten geheugen geeft een goede localiteit van referentie, terwijl gekoppelde knopen verspreid kunnen liggen en veel cache misses veroorzaken.

Antwoord

A · Array-elementen liggen aaneengesloten, zodat ze de CPU-cache goed benutten
4.Datastructuren

Antwoord: C · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel

Waarom dit het antwoord is

Splaying brengt de benaderde knoop via rotaties naar de wortel; één bewerking kan O(n) kosten, maar de geamortiseerde kosten zijn O(log n).

Antwoord

C · Roteert de benaderde knoop omhoog naar de wortel
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 1

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

9 − 1 = 8

Te verwijderen kanten

k = 9 − 8 = 1

Antwoord

k = 1
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 40

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

AC (1): nemen
GC (2): nemen
DF (5): nemen
GD (6): nemen
GB (7): nemen
BD (12): overslaan, sluit een cykel
BC (16): overslaan, sluit een cykel
CE (19): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 5 + 6 + 7 + 19 = 40

Antwoord

W = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms