Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Wat berekent het algoritme van Floyd-Warshall, en hoe snel?

  1. AKortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
  2. BEen topologische ordening in O(V²)
  3. CKortste paden vanuit één bronknoop naar alle andere in O(V + E)
  4. DEen minimale opspannende boom in O(E log V)
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Voor welke variant van het knapzakprobleem geeft de gulzige regel "neem items in volgorde van waarde per gewicht" altijd een optimaal antwoord?

  1. ADe fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
  2. BDe 0/1-knapzak, waarbij items altijd in hun geheel moeten worden genomen
  3. CGeen van beide varianten
  4. DBeide varianten
3.DatastructurenGemiddeld

De sleutels 50, 30, 70, 20, 40 worden in deze volgorde in een lege binaire zoekboom ingevoegd. Wat is het linkerkind van 30?

  1. A20
  2. B70
  3. C40
  4. D50
4.DatastructurenMoeilijk

Een dynamische array verdubbelt als hij vol is. Waarom verkleinen veel implementaties hem pas als hij voor een kwart vol is, en niet voor de helft?

  1. AOmdat de geheugenbeheerder geheugen alleen in kwarten van een blok kan vrijgeven
  2. BOmdat halveren bij de helft elementen zou kwijtraken
  3. COm de array gesorteerd te houden
  4. DOm herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
5.GrafentheorieGemiddeld

Een samenhangende graaf heeft 10 hoekpunten en 16 kanten. Hoeveel kanten k moeten worden verwijderd om een opspannende boom over te houden?

|V| = 10|E| = 16
k =
6.GrafentheorieMoeilijk
183191613128207ABCDEFG

Het algoritme van Prim bouwt een minimaal opspannende boom vanaf hoekpunt F. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 6.

start: Fk = 6
  1. 1kant AB
  2. 2kant AC
  3. 3kant BC
  4. 4kant CE
  5. 5kant DE
  6. 6kant DF
  7. 7kant GB
  8. 8kant GC
  9. 9kant GD

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)

Waarom dit het antwoord is

Floyd-Warshall is een algoritme voor dynamisch programmeren dat elke knoop om de beurt als tussenpunt toestaat en O(V³) tijd gebruikt.

Antwoord

A · Kortste paden tussen alle paren knopen in O(V³)
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: A · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst

Waarom dit het antwoord is

Als items kunnen worden opgesplitst, is de beste verhouding eerst optimaal; bij de 0/1-knapzak kan een item met een hoge verhouding een betere combinatie blokkeren, dus is dynamisch programmeren nodig.

Antwoord

A · De fractionele knapzak, waarbij items mogen worden opgesplitst
3.Datastructuren

Antwoord: A · 20

Waarom dit het antwoord is

20 is kleiner dan 50 en kleiner dan 30, dus het wordt het linkerkind van 30; 40 wordt het rechterkind.

Antwoord

A · 20
4.Datastructuren

Antwoord: D · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen

Waarom dit het antwoord is

Verkleinen bij de helft zou in zo'n reeks bij elke bewerking een resize kunnen veroorzaken; de ruimte tussen 1/4 en vol houdt de geamortiseerde kosten O(1).

Antwoord

D · Om herhaald vergroten en verkleinen te voorkomen als pushes en pops elkaar bij de grens afwisselen
5.Grafentheorie

Antwoord: k = 7

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Kanten van een opspannende boom

10 − 1 = 9

Te verwijderen kanten

k = 16 − 9 = 7

Antwoord

k = 7
6.Grafentheorie

Antwoord: kant AC

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Prim

1. DF (12)
2. GD (7)
3. GB (8)
4. DE (13)
5. CE (16)
6. AC (3)

kantnummer 6

AC

Antwoord

kant AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms