Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma
Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliere graaf
|E| = n·k/2
Boom en bos
|E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-update
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
  2. Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
  3. Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
  4. Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
  5. Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

Ongeveer hoeveel vergelijkingen heeft binair zoeken in het slechtste geval nodig in een gesorteerde array van 1,000,000 elementen?

  1. AOngeveer 500,000
  2. BOngeveer 1,000
  3. COngeveer 20
  4. DOngeveer 100
2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Met het mastertheorema heeft T(n) = 8T(n/2) + O(n²) als oplossing:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n³)
3.DatastructurenGemiddeld

Waarom kan een binaire heap zonder pointers in een array worden opgeslagen?

  1. AHet is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
  2. BHeaps bevatten nooit meer dan 100 elementen
  3. CAlle sleutels in een heap zijn gelijk
  4. DArrays houden sleutels automatisch gesorteerd, dus er zijn geen pointers nodig
4.DatastructurenMoeilijk

Een AVL-knoop is ongebalanceerd omdat de rechtersubboom van zijn linkerkind te hoog werd (left-right-geval). Welke correctie wordt toegepast?

  1. AEen linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
  2. BEen rechtsrotatie bij het linkerkind, dan een linksrotatie bij de knoop
  3. CEen enkele linksrotatie bij de knoop
  4. DEen enkele rechtsrotatie bij de knoop
5.GrafentheorieGemiddeld
ABCDEEulercircuitEulerpad, geen circuitgeen van beide

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Eulercircuit
  2. 2Eulerpad, geen circuit
  3. 3geen van beide
6.GrafentheorieMoeilijk
141013281618ABCDEF

Bepaal het totale gewicht W van een minimaal opspannende boom van de gewogen graaf.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · Ongeveer 20

Waarom dit het antwoord is

220 ≈ 1,048,576, dus na ongeveer 20 halveringen blijft er maar één element over.

Antwoord

C · Ongeveer 20
2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: D · Θ(n³)

Waarom dit het antwoord is

log₂ 8 = 3, en n² groeit langzamer dan n³, dus de bladeren domineren: Θ(n³).

Antwoord

D · Θ(n³)
3.Datastructuren

Antwoord: A · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules

Waarom dit het antwoord is

Compleetheid betekent dat er geen gaten zijn, dus de kinderen van index i staan altijd op 2i + 1 en 2i + 2.

Antwoord

A · Het is een complete binaire boom, dus posities volgen eenvoudige indexformules
4.Datastructuren

Antwoord: A · Een linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop

Waarom dit het antwoord is

De eerste rotatie zet het left-right-geval om in een left-left-geval, dat een rechtsrotatie bij de ongebalanceerde knoop daarna oplost.

Antwoord

A · Een linksrotatie bij het linkerkind, dan een rechtsrotatie bij de knoop
5.Grafentheorie

Antwoord: geen van beide

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; Kn heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Oneven hoekpunten

A, B, D, E → 4
geen van beide

Antwoord

geen van beide
6.Grafentheorie

Antwoord: W = 32

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

DF (1): nemen
CE (2): nemen
EF (6): nemen
DE (8): overslaan, sluit een cykel
AC (10): nemen
BC (13): nemen

Totaal gewicht

W = 1 + 2 + 6 + 10 + 13 = 32

Antwoord

W = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms