Datastructuren en algoritmen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 6 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Grafentheorie

Handenschudlemma: Σ deg(v) = 2|E|
Volledige grafen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliere graaf: |E| = n·k/2
Boom en bos: |E| = n − 1, |E| = n − c
Bladeren van een boom: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit: alle graden even; pad: precies 2 oneven graden
Hamiltoncircuits in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-update: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wandelingen van lengte L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schrijf de graad van elk hoekpunt op; de graden zijn samen twee keer het aantal kanten.
Controleer bij Eulervragen of de graaf samenhangend is en tel de hoekpunten met oneven graad.
Gebruik bij bomen n − 1 kanten en het handenschudlemma.
Houd bij Dijkstra een tabel met voorlopige afstanden bij en leg elke ronde het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste afstand vast.
Sorteer voor een minimaal opspannende boom de kanten op gewicht en sla elke kant over die een cykel sluit (Kruskal), of laat één boom groeien vanuit een beginpunt (Prim).

2Oefenopgaven

1.Algoritmen & complexiteitGemiddeld

In een gesorteerde array zoek je twee elementen die samen een doelwaarde opleveren door vanaf elk uiteinde een pointer naar binnen te bewegen. Wat is de tijdcomplexiteit?

AO(n log n)
BO(log n)
CO(n)
DO(n²)

2.Algoritmen & complexiteitMoeilijk

Hoe wordt het handelsreizigersprobleem geclassificeerd?

AHet is onbeslisbaar
BDe beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk
CHet zit in P, omdat het algoritme van Dijkstra het oplost door elke stad één keer te bezoeken
DDe beslissingsversie zit in P, maar de optimalisatieversie is NP-volledig

3.DatastructurenGemiddeld

Een knoop in een binaire zoekboom heeft een rechtersubboom. Waar staat zijn inorder-opvolger?

ADe meest rechtse knoop van zijn linkersubboom
BAltijd zijn rechterkind
CDe meest linkse knoop van zijn rechtersubboom
DAltijd zijn ouder

4.DatastructurenMoeilijk

Waarom kun je elementen niet zomaar uit een standaard-Bloomfilter verwijderen door hun bits te wissen?

ABloomfilters slaan de volledige elementen op, die na het hashen niet meer te vinden zijn
BBits in een Bloomfilter kunnen na het aanmaken niet worden veranderd
CDie bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken
DVerwijderen zou het percentage fout-positieven naar 100% verhogen

5.GrafentheorieGemiddeld

Heeft de samenhangende graaf een Eulercircuit, een Eulerpad dat geen circuit is, of geen van beide? Klik op je antwoord.

|V| = 5|E| = 5

1Eulercircuit
2Eulerpad, geen circuit
3geen van beide

6.GrafentheorieMoeilijk

Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom. Klik op de kant die het toevoegt als kant nummer 3; overgeslagen kanten tellen niet mee.

k = 3

1kant AB
2kant AC
3kant BC
4kant BD
5kant CE
6kant DE
7kant BE

3Oplossingen

1.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: C · O(n)

Waarom dit het antwoord is

Is de som te klein, dan gaat de linkerpointer naar rechts; is ze te groot, dan gaat de rechterpointer naar links. Er zijn dus hoogstens n stappen.

Antwoord

C · O(n)

2.Algoritmen & complexiteit

Antwoord: B · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk

Waarom dit het antwoord is

"Is er een route met lengte hoogstens k?" is NP-volledig; de kortste route vinden is NP-moeilijk, omdat dat minstens zo moeilijk is.

Antwoord

B · De beslissingsversie is NP-volledig en de optimalisatieversie is NP-moeilijk

3.Datastructuren

Antwoord: C · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom

Waarom dit het antwoord is

Alle grotere sleutels dicht bij de knoop staan in zijn rechtersubboom, en de kleinste daarvan is de meest linkse knoop daar.

Antwoord

C · De meest linkse knoop van zijn rechtersubboom

4.Datastructuren

Antwoord: C · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken

Waarom dit het antwoord is

Het wissen van een gedeelde bit zou een ander element afwezig laten lijken; counting Bloom filters houden tellers bij in plaats van bits om verwijderen mogelijk te maken.

Antwoord

C · Die bits kunnen ook bij andere elementen horen, wat fout-negatieven zou veroorzaken

5.Grafentheorie

Antwoord: Eulerpad, geen circuit

Euler, Hamilton en bomen: een samenhangende graaf heeft een Eulercircuit (elke kant één keer, terug naar het begin) als elk hoekpunt even graad heeft, en een Eulerpad dat geen circuit is als precies twee hoekpunten oneven graad hebben; het pad loopt dan van het ene oneven hoekpunt naar het andere. Een Hamiltoncircuit bezoekt elk hoekpunt één keer; K_n heeft er (n − 1)!/2. Een boom op n hoekpunten heeft n − 1 kanten, en een samenhangende graaf met m kanten houdt een opspannende boom over na het verwijderen van m − n + 1 kanten.

Graden

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Oneven hoekpunten

A, C → 2

Eulerpad, geen circuit

Antwoord

Eulerpad, geen circuit

Het Eulerpad begint bij het ene oneven hoekpunt en eindigt bij het andere.

6.Grafentheorie

Antwoord: kant BD

Kortste paden en opspannende bomen: het algoritme van Dijkstra legt per ronde één hoekpunt vast: het onafgehandelde hoekpunt met de kleinste voorlopige afstand. Zijn afstand is dan definitief, en elke buur v krijgt d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Het algoritme van Kruskal bouwt een minimaal opspannende boom door de kanten van licht naar zwaar te nemen en elke kant over te slaan die een cykel zou sluiten; het algoritme van Prim laat één boom groeien vanuit een beginpunt door steeds de lichtste kant toe te voegen die eruit vertrekt. Een opspannende boom van n hoekpunten heeft n − 1 kanten.

Het algoritme van Kruskal

1. AB (1)

2. CE (3)

3. BD (4)

4. BC (13)

kantnummer 3

Antwoord

kant BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms